題目有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。
基本思路
這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入乙個容量為v的揹包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：
f[i][v]=max
這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：「將前i件物品放入容量為v的揹包中」這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為乙個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入容量為v的揹包中」，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中」，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。
優化空間複雜度
以上方法的時間和空間複雜度均為o(n*v)，其中時間複雜度基本已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到o(v)。
先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有乙個主迴圈i=1..n，每次算出來二維陣列f[i][0..v]的所有值。那麼，如果只用乙個陣列f[0..v]，能不能保證第i次迴圈結束後f[v]中表示的就是我們定義的狀態f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時（也即在第i次主迴圈中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主迴圈中我們以v=v..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]儲存的是狀態f[i-1][v-c[i]]的值。偽**如下：
for i=1..n
for v=v..0
f[v]=max;
其中的f[v]=max一句恰就相當於我們的轉移方程f[i][v]=max，因為現在的f[v-c[i]]就相當於原來的f[i-1][v-c[i]]。如果將v的迴圈順序從上面的逆序改成順序的話，那麼則成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，與本題意不符，但它卻是另乙個重要的揹包問題p02最簡捷的解決方案，故學習只用一維陣列解01揹包問題是十分必要的。
事實上，使用一維陣列解01揹包的程式在後面會被多次用到，所以這裡抽象出乙個處理一件01揹包中的物品過程，以後的**中直接呼叫不加說明。
過程zeroonepack，表示處理一件01揹包中的物品，兩個引數cost、weight分別表明這件物品的費用和價值。
procedure zeroonepack(cost,weight)
for v=v..cost
f[v]=max
注意這個過程裡的處理與前面給出的偽**有所不同。前面的示例程式寫成v=v..0是為了在程式中體現每個狀態都按照方程求解了，避免不必要的思維複雜度。而這裡既然已經抽象成看作黑箱的過程了，就可以加入優化。費用為cost的物品不會影響狀態f[0..cost-1]，這是顯然的。
有了這個過程以後，01揹包問題的偽**就可以這樣寫：
for i=1..n
zeroonepack(c[i],w[i]);
初始化的細節問題
我們看到的求最優解的揹包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求「恰好裝滿揹包」時的最優解，有的題目則並沒有要求必須把揹包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。
如果是第一種問法，要求恰好裝滿揹包，那麼在初始化時除了f[0]為0其它f[1..v]均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[n]是一種恰好裝滿揹包的最優解。
如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是只希望**盡量大，初始化時應該將f[0..v]全部設為0。
為什麼呢？可以這樣理解：初始化的f陣列事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量為0的揹包可能被價值為0的nothing「恰好裝滿」，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有乙個合法解「什麼都不裝」，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。
這個小技巧完全可以推廣到其它型別的揹包問題，後面也就不再對進行狀態轉移之前的初始化進行講解。
小結01揹包問題是最基本的揹包問題，它包含了揹包問題中設計狀態、方程的最基本思想，另外，別的型別的揹包問題往往也可以轉換成01揹包問題求解。故一定要仔細體會上面基本思路的得出方法，狀態轉移方程的意義，以及最後怎樣優化的空間複雜度。
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揹包九講 簡單揹包
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演算法 揹包九講
例題參考 資訊學奧賽一本通 初始化分兩種情況 1 如果揹包要求正好裝滿則初始化 f 0 0,f 1 v inf 2 如果不需要正好裝滿 f 0 v 0 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用 即體積，下同 是w i 價值是c i 求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，...
揹包九講（9）
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