KMP演算法詳解

串的模式匹配可以說是非常常見的演算法了，我們首先分析最簡單易懂的蠻力演算法（brute-force，簡稱bf），然後分析蠻力演算法存在的問題以及如何改進，引出kmp演算法，然後對kmp演算法進行分析，關於蠻力演算法和kmp演算法我都會給出**，這些**都是我經過測試可以正確執行的，當然如果有疏漏或者沒有考慮到的地方還請讀者批評指正。

這裡要引入三個概念：

對於t中的每乙個字元，都要作為一次對齊位置進行比較，當t[i]p[j]時，i和j同時加一，當不相等時，要返回當前對齊位置的下乙個對齊位置進行比較。我知道這樣說有點繞，接下來我們看乙個實際例子。

我們設t="chillchia",p="chia",那麼最初r=0，i=0，j=0。因為t[0]p[0]，於是i++和j++，然後t[1]==j[1]，以此類推，知道t[3]!=p[3]，注意，此時需要從r的下一位置作為對齊位置重新進行比較，那麼需要執行r++，i=r處開始比較，直到匹配成功或者t串到達末尾，匹配失敗，上述思想對應的**如下：

int match(char *t,char *p){

int i=0,j=0;

for(i=0;i接下來我們分析一下這個演算法的時間複雜度和空間複雜度，由於這個演算法並沒有以陣列或者迴圈的形式申請大量的空間，所以它的空間複雜度只是o（1），就不再深入討論了。

在最壞的情況下，我們假設t="000……00001",p="00001",設m=strlen（p），顯然，這裡m=5。每一次比較都需要經歷m-1次成功和一次失敗，所以對於p中的前（n-m）個字元都需要經過m次對比，由於t中共有n=strlen（t）個字元，而且一般情況下，我們認為n>>m>>2(這裡的2代表常數),所以n-m和n可以近似相等（在封底意義下），所以前n-m個字元和n個字元是相同量級的。所以時間複雜度應該為o（（n-m）m）=o（nm）；

這裡我們討論乙個記憶力和預知力的問題，事實上，當p串經過m-1次成功的比較之後，它已經記下了一些t串和p串中的對應資訊，因為是成功的比較，所以此時t串和p串對應的值相等，我們只考察p串就可以了。我們需要考慮這樣一種情況，當p串中的某乙個位置和t串比較發現不相等時，是否需要從下乙個對齊位置開始，從頭比較？事實上，這時我們已經記下了一些資訊，完全不必從頭開始，那麼我們應該從何處開始呢？這就是說我們如何有效利用我們已經記下的這些資訊呢？kmp演算法正是為了解決上述問題應運而生的，下面我們進入kmp演算法。

上面已經分析過，由於t串和p串已經比較的部分是相等的，這裡我們只需考察p串即可。這裡我們通過乙個實際例子來分析，設t="chichichichia",p="chichia",可以看到，當i=6，j=6時，c和a進行比較，不相等，那麼按照蠻力演算法，需要從j=0開始從頭比較，但是根據kmp演算法，這裡我們可以從j=3，也就是p串的'c'處和i=6進行比較，這樣的話，實際上i處不需要返回到對齊位置重新比較，可以一次縮排多個位置同時不需要很多重複比較。那麼這裡的第乙個問題就是，我們如何知道當j=6也就是p串的p[6]發生比較失敗的失敗返回到j=3處繼續執行呢？這裡設計乙個查詢表，我們稱之為next表，那麼next表如何構造呢？這其實是p串的乙個自相似問題，以當前的p串為例，對於發生故障的點，也就是j=6處，需要保證它的字尾和字首完全相等，而且在相等的字首和字尾中取最長的，這樣可以保證沒有遺漏，也就是演算法的正確性得以保證，比方說這裡的p串，當j=6時發生比較失敗，它的字首是chi，字尾也是chi，而且是最長的字首和字尾完全相等的情況，所以我們可以從字首+1的位置，也就是j=3的位置繼續比較（因為j從0開始，所以字首+1是j=3）。

通過上面的分析我們知道，kmp演算法的乙個核心就是構建字首表，在給出具體**之前，我們先分析一下實現的原理，按照遞推的方式，假設我們已經知道next表對應0到j的值，那麼可不可以據此算出next[j+1]呢？事實上有這樣的不等式成立：next[j+1]<=next[j]+1，這個不等式的證明讀者可以自己思考下，這裡我就不細緻介紹了。看到這個不等式，我們首先要問，什麼時候取等號？不難發現，當p[j+1]==p[next[j]+1]時,字尾和字首在相等的基礎上長度延長了乙個單位，那麼當這2者不相等呢？那就無法繼續延長，甚至要從j的上乙個字首處繼續比較直至可以延長，具體來說就是去試探p[j+1]與p[next[next[j]]+1]是否相等，讀者可以畫乙個圖就比較清晰了，如果讀者能夠理解這部分內容，那麼接下來的**也就很好理解了。

int* buildnext(char *p){

int s=strlen(p);

int j=0;

int *n=new int[s];

int t=n[0]=-1;

while(j有了字首表的構建演算法，我們接下來分析kmp演算法的總體框架。其實關於設計思路我在前面已經介紹過了，這裡不再贅述，直接看**。

int match(char *t,char *p){

int* next=buildnext(p);

int i,j;

int n=strlen(t);

int m=strlen(p);

for(i=0,j=0;i這個**我在測試的時候發現乙個bug，這裡一併記錄一下，當時我沒有引入變數m和n，而是在m和n處分別用strlen(t)和strlen(p)代替，然而結果是當j<0時迴圈就退出了，這顯然和我期望的不一致，其實這是乙個很簡單的問題，我自己編碼經驗不足才沒發現。事實上，參看c庫的文件可以得知，strlen這個函式返回乙個size_t型別的變數，這個size_t其實是typedef unsigned int size_t，所以在進行不等式判斷j考察這樣一種特殊情況，我們假設t="0001……00001",p="00001"，這裡構造的next表為"-1,0,1,2,3,4",當p[3]和t[3]第一次進行比較時，回逐漸調到p[2],p[1],p[0]，結果不出預料，都會比較失敗，這裡的問題是，kmp演算法不斷的在犯相同的錯誤，也就是當1與0不相等時，繼續拿上乙個0與1比較，或者我們可以說，kmp演算法沒有在錯誤中吸取經驗。改進的策略是，在構造字首表時，只有當當前字元與p[t]對應的字元不相等時，才設定對應的字首，否則繼續向上一級next表項探索，**如下所示。

int* buildnext(char *p){

int s=strlen(p);

int j=0;

int *n=new int[s];

int t=n[0]=-1;

while(j這裡我們看到，i指向當前t中的字元，對於t中的每乙個字元，i始終沒有後退，不像蠻力演算法那樣，i還要回退到對齊位置，這裡每乙個位置的i都至多進行2次比較。再考慮構建next的時間開銷，可以得知它的演算法和kmp的主演算法類似，而且文字的長度為n，因此我們可以得知演算法的時間開銷不會超過2n，在封底估算的情況下，我們可以得知演算法的時間複雜度為o(n)。其實回到蠻力演算法，通過大量的統計資料表明，蠻力演算法的時間開銷一般也就是n這個量級，只有當演算法對應的字符集較小時，蠻力演算法的效能才下降得很明顯，所以我們可以看到，很多書在舉例的時候都採用0-1構成的串。

ok，至此，本篇部落格就結束了。

KMP演算法詳解

KMP演算法詳解

KMP演算法詳解

KMP演算法詳解

相關推薦