在cartesian座標系中，存在向量 \(\textbf=a\textbf+b\textbf=(a \quad b)^\)，現在將座標系按原點逆時針旋轉 \(\theta\) （注意：不是將 \(\textbf\) 逆時針旋轉），\(\textbf\) 在新座標系內的表示如下：
\[\mathbf = \begin cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end \begin a \\ b \end=\begin a' \\ b' \end
\tag \label
\]可以看出
\[a'=a*cos\theta+b*sin\theta \\
b'=-a*sin\theta+b*cos\theta
\tag \label
\]現在觀察式 \(\eqref\)，發現和兩個向量的向量積公式一致，再加上由概念可以直接得出， \(a'\) 就是新座標系下 \(\textbf\) 在 \(\textbf'\) 基向量方向上的長度， \(b'\) 就是新座標系下 \(\textbf\) 在 \(\textbf'\) 基向量方向上的長度，因此新座標系的兩個基向量可以寫成：
\[\textbf'= (cos\theta \quad sin\theta) ^\\
\textbf'= (-sin\theta \quad cos\theta) ^
\tag \label
\]同樣，我們發現確定 \(\textbf\) 在逆時針旋轉 \(\theta\) 後的座標系下的表示，可以等價成 \(\textbf\) 順時針旋轉 \(\theta\) 後在原先座標系下的表示。因此，我們轉而分析將 \(\textbf\) 順時針旋轉 \(\beta\) 後 \(\textbf'\) 在座標系下的表示，假定有旋轉矩陣 \(\textbf\)：
\[\mathbf\mathbf = \mathbf\begin \mathbf & \mathbf \end \begin a \\ b \end
=\begin cos\beta & sin\beta \\ -sin\beta & cos\beta \end \begin a \\ b \end \\
= \begin \mathbf & \mathbf \end \begin a \\ b \end
= \textbf'
\tag \label
\]很顯然， \(\textbf\) 將基向量旋轉了來保證 \(\textbf'\) 在新的基下，仍然保持一致的投影分量 \((a \quad b)^\) ，此時新的基可以表示為：
\[\textbf'' = (cos\beta \quad -sin\beta) ^\\
\textbf''= (sin\beta \quad cos\beta) ^
\tag \label
\]分析可知，式 \(\eqref\) 和式 \(\eqref\) 是一致的，對一組正交單位基逆時針旋轉角度 \(\theta\) （如果順時針旋轉 \(\theta\)，則可以表示成逆時針旋轉了 \(-\theta\)），得到的新基可以表示為：
\[\begin cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end
\tag \label
\][1] 行列式的本質是什麼？
[2] 矩陣行列式的幾何意義
[3] 如何理解相似矩陣？
座標系的旋轉
1 簡單3維座標系旋轉平移 原始座標系下座標點p1 0,2,1 原始座標系繞自身z軸旋轉 90度變換為新座標系，p1在新座標系下的座標點為p2 2,0,1 得出結論 求原始點在目標座標系下的座標，需要將原始座標系繞自身3軸旋轉與目標座標系軸向重合，得到旋轉矩陣r，求得原始座標系原點在目標座標系下的3...
點旋轉和座標系旋轉
同一座標系下的點旋轉變換 如圖1所示 和不同座標系之間的旋轉變換 如圖2所示 一直困擾著我，它們是兩個不同的概念，但形式上有很相似，以二維空間為例做了下推導，加深理解。同一座標系下的點旋轉變換，比較好理解，是在相同的座標系下做的旋轉變換。如圖3所示，已知逆時針的旋轉角度為 我們引入中間變數向量的長度...
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