演算法32 計算陣列中的逆序對

設 a[1...n] 是乙個陣列，如果對於 i < j 有 a[i] > a[j], 則 a[i] 和 a[j] 構成一對逆序。給定乙個陣列，計算陣列中逆序對的個數。例如陣列 a = , 則是逆序對，返回 3。

兩個 for 迴圈列舉所有的數對，如果是逆序對，則 count++，最終返回 count 即可。時間複雜度 o(n^2)，**如下：

1 #include 2 #include 
3 #include 4
using
namespace
std;56
int countinversions(const vector&a)715
}16return
cnt;17}
1819
intmain()20;
22     vector v(a, a + 4
);23     cout << countinversions(v) <
24return0;
25 }

這個解法在《演算法導論》中歸併排序那一節的思考題 2-4 中有提到。原題如下：

設 a[1...n] 是一包含 n 個不同數的陣列，如果在 i < j 的情況下，有 a[i] > a[j]，則 (i, j) 稱為 a 中的乙個逆序(inversion)。

(a) 列舉出 <2, 3, 8, 6, 1> 的 5 個逆序對。

答： <2, 1> <3, 1> <8, 6> <8, 1> <6, 1>

(b) 如果陣列的元素取自集合，那麼怎麼樣的陣列含有最多的逆序？它包含多少個逆序？

答：n 個元素最多有 n(n-1) / 2 個陣列，在最壞的情況下，所有的數對都是逆序，因而最多有 n(n-1)/2 個逆序。這樣的陣列為倒序

答：插入排序的核心過程如下，可以看到內迴圈的執行實際上是因為構成了逆序，換句話說，內迴圈執行完畢後後的逆序被消去，所以插入排序總的迴圈次數 == 陣列中逆序對個數。

1
for (int i = 1; i < n; ++i)
28     a[j + 1] =x;
9 }

歸併排序的基本思想就是 divide & conquer: 將陣列劃分為左右兩部分，歸併排序左部分，歸併排序右部分，然後 merge 左右兩個陣列為乙個新的陣列，從而完成排序。按照這個基本思想，我們也可以運用到計算逆序對中來，假設我們將陣列劃分左右兩部分，並且我告訴你左邊部分的逆序對有 inv1 個，右邊部分的逆序對有 inv2 個，如下圖所示

那麼剩餘的逆序對必然是乙個數出現在左邊部分，乙個數出現在右邊部分，並且滿足出現左邊部分的數 a[i] > a[j], 如下圖所示, 值得說明是：左右兩部排序與否，不會影響這種情況下的逆序對數，因為左右兩部分的排序只是消除了兩部分內部的逆序對，而對於 a[i] 來自左邊， a[j] 來自右邊構成的逆序，各自排序後還是逆序

那麼接下來就需要我們就需要在 merge 的過程中計算 a[i], a[j] 分別來自左右兩部分的逆序對數，如下圖所示，如果所有 a[i] 都小於 b[j] 的第乙個數，顯然是沒有逆序的。只有當 a[i] > b[j] 是才會發生逆序，由於我們事先對 a 和 b 已經排好序，而所以如果發生 a[i] > b[j]，那麼所有 a[ii] (ii > i) 也都滿足 a[ii] > b[j], 也就是說和 b[j] 構成逆序的數有，所以逆序數增加 end- i + 1個, 所以我們每次碰到 a[i] > b[j] 的情況，逆序對數增加 (end - i + 1) 個即可。

至此整個演算法的框架圖可以如下表示：

整個演算法的**如下，時間複雜度當然是 o(nlogn)

1 #include 2 #include 
3 #include 4
using
namespace
std;56
7 typedef long
long
llong;
89 llong mergeandcount(vectorint> &a, int left, int mid, int right, vectorint> &temp);
10 llong mergesortandcount(vectorint>& a, int left, int right, vectorint>&temp);
11 llong countinversions(vectorint>&a);
1213
intmain()
1425
26     llong result =countinversions(a);
27     cout << result <
28return0;
29}3031 llong mergeandcount(vectorint> &a, int left, int mid, int right, vectorint> &temp)
3244
else
4549}50
51while (i <= mid) temp[k++] = a[i++];
52while (j <= right) temp[k++] = a[j++];
5354
for (i = left; i <= right; ++i)
5558
return
cnt;59}
6061 llong mergesortandcount(vectorint>& a, int left, int right, vectorint>&temp)
6274
75 llong countinversions(vectorint>&a)
76

[1] 《演算法導論》中文第二版， p24，2-4 逆序對。

[2]

[3] www.cs.umd.edu/class/fall2009/cmsc451/lectures/lec08-inversions.pdf

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