一：概述
一些工程應用只會使用教科書式的標準資料結構，但是也會有些應用需要對現有的資料結構進行少許的創新和改造，只有很少的情況會創造全新的資料結構。
二：動態順序統計
順序統計：n個元素中第i個順序統計量，就是具有第i小關鍵字的元素。對於乙個無序的集合，可以在
o(n)
的時間內得到任意的順序統計量。
利用紅黑樹，可以在
o(lg n)
的時間內確定任意順序統計量，同時也能在
o(lg n)
時間內確定元素的秩，紅黑樹中，元素的秩代表中序遍歷時輸出的位置。
支援快速順序統計操作的資料結構，是在紅黑樹的基礎上進行了少許的改造，形成了順序統計樹。順序統計樹就是紅黑樹，只不過樹種每個節點，除了具有紅黑樹的key, color, left, right, p等五個性之外，還附加了另外的性質：
size
，它表示以
x為根的子樹（包括
x本身）的內（不計哨兵）節點數。並且定義哨兵的
size為0
，所以有下面的性質：
x.size = x.left.size + x.right.size + 1
下圖就是一顆順序統計樹，每個節點中，上邊是key，下邊是size：
1：確定給定秩的元素
利用size資訊，可以在o(lg n)時間內確定給定秩的元素：os-select。它返回以x為根的子樹中，指向第i小的關鍵字元素的指標，**如下：
os-select(x, i)
r= x.left.size+1
if i == r
return x
else if i < r
return os-select(x.left, i)
else
return os-select(x.right, i-r)
該演算法中，r表示以x為根的子樹中，節點x的秩。如果i小於r，則需要在左子樹中找第i小的元素，如果i大於r，則需要在右子樹中找第i-r小的元素。
os-select的總時間與樹的高度成正比，所以該演算法的時間複雜度為o(lg n)。
2：確定乙個元素的秩
給定元素x的指標，可以用os-rank返回元素x在樹中的秩，**如下：
os-rank(x)
r = x.left.size+1
y = x
while y != t.root
if y = y.p.right
r= r+y.p.left.size+1
y= y.p
returnr
在該演算法中，r表示以y為根的子樹中，x的秩。如果y為父節點的左孩子，則x在y為根的子樹中的秩也是在y.p為根的子樹中的秩。如果
y為父節點的右孩子，則x在
y.p為根的子樹中的秩，還需要加上
y.p為根的子樹中，左分支的節點數和
y.p本身所佔的位置，才是x在
y.p為根的子樹中秩。所以，最後y==root時，r就是在整個樹中的秩。
該演算法的時間複雜度為o(lgn)。
3：對子樹規模的維護
利用size屬性，可以很快的計算出順序統計量，但是，如果在統計數的改變過程中，不能在合理的時間內維護size屬性，那麼新增size屬性將是無意義的，比如，在插入或者刪除的過程中，如果維護元素
size
屬性的時間超過了
o(lg n)
，則size
變得無意義。下面就說明，插入和刪除操作，會在o(lg n)時間內完成size的維護。
插入操作，包括兩個階段，第一階段從根節點開始沿樹下降，將新節點插入到葉節點中。第二階段是沿樹上公升，做一些變色或者旋轉操作維護紅黑樹的性質。在第一階段中，為了維護size的屬性，可以將從根節點到新插入的葉子節點的路徑上的每個節點的size加1即可。這個操作的時間複雜度為o(lg n)。在第二階段，只有旋轉操作才會導致size的屬性變化，而紅黑樹的插入操作的旋轉次數最多為2次。旋轉操作是一種區域性操作，只會使得2個節點的size屬性失效，比如左旋**中，增加下面兩行就能維護size屬性：
y.size = x.size
x.size = x.left.size + x.right.size +1
左旋操作如下圖：
右旋操作也類似，所以對於插入操作來說，增加size屬性後，插入的時間複雜度還是o(lg n)。
刪除操作也是分兩個階段，第一階段找到y，要麼將y刪除，要麼將y上移，所以遍歷一條從節點y所在位置到根節點的路徑，將每個節點的size減1即可。第二階段是為了維護紅黑樹性質的變色和旋轉操作，因刪除操作最多需要3次旋轉，因而，同插入操作一樣，刪除操作的時間複雜度也是o(lg n)。
三：如何擴張資料結構
對基本的資料結構進行擴張，以支援一些附加功能，在演算法設計中是很常見的，下面是擴張一種資料結構的基本步驟：
a：選擇一種基本資料結構；
b：確定資料結構中需要維護的附加資訊；
c：檢驗基礎資料結構上的基本修改操作是否能維護附加資訊；
d：設計新的操作。
比如在利用紅黑樹進行順序統計的工作中，a：選擇了紅黑樹作為基本資料結構。b：在紅黑樹節點中新增了size屬性。c：保證插入和刪除操作仍能在o(lg n)時間內維護size屬性。d：設計順序統計的操作。
當紅黑樹作為基本資料結構時，可以證明，某些型別的附加資訊總是可以用插入和刪除操作進行有效的維護：如果
f是紅黑樹元素的附加屬性，假設對於任意節點x，
f的值僅僅依賴於
x, x.left, x.right
的資訊，還可能包括
x.left.f
和x.right.f
。那麼在插入和刪除操作中，可以在
o(lg n)
時間內維護
f的屬性。這是因為
f屬性的變動，只會影響到
x的祖先，所以修改
x.f，只需要更新
x.p.f, x.p.p.f……
。如此沿樹向上即可。
四：區間樹
區間[a,b]便於表示占用一連續時間的事件，例如查詢由時間區間構成的資料庫，找出給定時間內發生了什麼事。
可以用物件i表示區間[a,b]， i.low = a;i.high = b。對於兩個區間i和j來說，如果：i.low <= j.high並且j.low <= i.high，則表示兩個區間i和j重疊。
區間樹是一種紅黑樹，樹中的元素表示乙個區間，該樹支援的操作有：插入，刪除，查詢，其中，查詢操作是返回乙個指向x的指標，x與給定的區間i重疊。如果x不存在，則返回t.nil。
下圖為一些列的區間：
為了支援查詢重疊區間的操作，：
a：選擇紅黑樹作為基本資料結構，每個節點表示乙個區間int，節點的關鍵字為區間的低點，也就是x.int.low。所以該資料結構中，中序遍歷就能按照low的次序列出各區間。
b：附加資訊為max，max表示了以x為根的子樹中，所有區間的端點high的最大值。
c：x的max值：x.max =max(x.int.high, x.left.max, x.right.max)， 所以符合上面的定理，因而插入和刪除操作能在o(lgn)時間內完成。
d：插入和刪除操作與紅黑樹的一樣，這裡只需要設計search操作。它可以找出樹中，與給定區間i重疊的節點x，如果x不存在，返回t.nil。**如下：
interval-search(t, i)
x = t.root
while x != t.nil and i does not overlap x.int
if x.left != t.nil and x.left.max >= i.low
x= x.left
else x = x.right
return x
該演算法能保證，如果樹中存在與i重疊的區間，該區間一定能被找到。該演算法在迴圈中，判斷x.left != t.nil and x.left.max >= i.low，如果不滿足x.left.max >= i.low，則說明左子樹中的節點的high值，都小於i的low值，所以左子樹中不存在與i重疊的區間，因而在右子樹中。
如果滿足了x.left.max >= i.low屬性，則有可能左右子樹中都會包含與i重疊的區間。首先在左子樹中找，如果左子樹中沒有的話，右子樹中一定也不存在，因為樹的關鍵字為low值，左子樹的low值肯定比右子樹小。
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《演算法導論》讀書筆記之第14章 資料結構的擴張
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