拓展KMP演算法詳解

拓展kmp解決的問題是給兩個串s和t，長度分別是n和m，求s的每乙個字尾子串與t的最長公共字首分別是多少，記作extend陣列，也就是說extend[i]表示s[i,n-1]（i從0開始）和t的最長公共字首長度。

需要注意的是如果extend[i]=m,即s[i,n-1]和t的最長公共字首長度是m（正好是t的長度），那麼就表示t在s中找到匹配而且起始位置是i，這就解釋了為什麼這個演算法叫做拓展kmp了。

其實大致和kmp有異曲同工之妙，都是匹配，都是借用乙個next陣列。　

下面舉乙個例子，s=」aaaabaa」,t=」aaaaa」,首先，計算extend[0]時，需要進行5次匹配，直到發生失配。

從而得知extend[0]=4，下面計算extend[1],在計算extend[1]時，是否還需要像計算extend[0]時從頭開始匹配呢？答案是否定的，因為通過計算extend[0]=4，從而可以得出s[0,3]=t[0,3]，進一步可以得到 s[1,3]=t[1,3],計算extend[1]時，事實上是從s[1]開始匹配，設輔助陣列next[i]表示t[i,m-1]和t的最長公共字首長度。在這個例子中，next[1]=4,即t[0,3]=t[1,4],進一步得到t[1,3]=t[0,2],所以s[1,3]=t[0,2],所以在計算extend[1]時，通過extend[0]的計算，已經知道s[1,3]=t[0,2],所以前面3個字元已經不需要匹配，直接匹配s[4]和t[3]即可，這時一次就發生失配，所以extend[1]=3。這個例子很有代表性，有興趣的讀者可以繼續計算剩下的extend陣列。

1. 拓展kmp演算法一般步驟

通過上面的例子，事實上已經體現了拓展kmp演算法的思想，下面來描述拓展kmp演算法的一般步驟。

首先我們從左到右依次計算extend陣列，在某一時刻，設extend[0...k]已經計算完畢，並且之前匹配過程中所達到的最遠位置為p，所謂最遠位置，嚴格來說就是i+extend[i]-1的最大值（0<=i<=k）,並且設這個最大值的位置為po，如在上乙個例子中,計算extend[1]時，p=3，po=0。

現在要計算extend[k+1],根據extend陣列的定義，可以推斷出s[po,p]=t[0,p-po],從而得到 s[k+1,p]=t[k-po+1,p-po],令len=next[k-po+1]，(回憶下next陣列的定義),分兩種情況討論：

第一種情況：k+len如下圖所示：

上圖中，s[k+1,k+len]=t[0,len-1]，然後s[k+len+1]一定不等於t[len]，因為如果它們相等，則有s[k+1,k+len+1]=t[k+po+1,k+po+len+1]=t[0,len],那麼next[k+po+1]=len+1，這和next陣列的定義不符(next[i]表示t[i,m-1]和t的最長公共字首長度)，所以在這種情況下，不用進行任何匹配，就知道extend[k+1]=len。

第二種情況： k+len>=p

如下圖：

上圖中，s[p+1]之後的字元都是未知的，也就是還未進行過匹配的字串，所以在這種情況下，就要從s[p+1]和t[p-k+1]開始一一匹配，直到發生失配為止，當匹配完成後，如果得到的extend[k+1]+(k+1)大於p則要更新未知p和po。

至此，拓展kmp演算法的過程已經描述完成，細心地讀者可能會發現，next陣列是如何計算還沒有進行說明，事實上，計算next陣列的過程和計算extend[i]的過程完全一樣，將它看成是以t為母串，t為字串的特殊的拓展kmp演算法匹配就可以了，計算過程中的next陣列全是已經計算過的，所以按照上述介紹的演算法計算next陣列即可，這裡不再贅述。

2. 時間複雜度分析

下面來分析一下演算法的時間複雜度，通過上面的演算法介紹可以知道，對於第一種情況，無需做任何匹配即可計算出extend[i]，對於第二種情況，都是從未被匹配的位置開始匹配，匹配過的位置不再匹配，也就是說對於母串的每乙個位置，都只匹配了一次，所以演算法總體時間複雜度是o(n)的，同時為了計算輔助陣列next[i]需要先對字串t進行一次拓展kmp演算法處理，所以拓展kmp演算法的總體複雜度為o(n+m)的。其中n為母串的長度，m為子串的長度。

3. 模板

1 #include2 #include3
const
int maxn = 100010;4
char s[maxn]= "
aaaabaa
", t[maxn] = "
aaaaa";
5int
nextt[maxn], ls, lt, extend[maxn];67
void
get_next();
8void
exkmp();910
intmain()
1119     puts(""
);20
21for(int i = 0; i < ls; i++)
24     puts(""
);25
return0;
26} 
2728
void
get_next()50}
51}5253
void
exkmp()76}
77 }

4. 模板練習題

練習題參考解答：

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