演算法總結第二彈,上次總結了下kmp,這次就來拓展kmp吧。
拓展kmp是對kmp演算法的擴充套件,它解決如下問題:
定義母串s,和字串t,設s的長度為n,t的長度為m,求t與s的每乙個字尾的最長公共字首,也就是說,設extend陣列,extend[i]表示t與s[i,n-1]的最長公共字首,要求出所有extend[i](0<=i
注意到,如果有乙個位置extend[i]=m,則表示t在s中出現,而且是在位置i出現,這就是標準的kmp問題,所以說拓展kmp是對kmp演算法的擴充套件,所以一般將它稱為擴充套件kmp演算法。
下面舉乙個例子,s=」aaaabaa」,t=」aaaaa」,首先,計算extend[0]時,需要進行5次匹配,直到發生失配。
從而得知extend[0]=4,下面計算extend[1],在計算extend[1]時,是否還需要像計算extend[0]時從頭開始匹配呢?答案是否定的,因為通過計算extend[0]=4,從而可以得出s[0,3]=t[0,3],進一步可以得到 s[1,3]=t[1,3],計算extend[1]時,事實上是從s[1]開始匹配,設輔助陣列next[i]表示t[i,m-1]和t的最長公共字首長度。在這個例子中,next[1]=4,即t[0,3]=t[1,4],進一步得到t[1,3]=t[0,2],所以s[1,3]=t[0,2],所以在計算extend[1]時,通過extend[0]的計算,已經知道s[1,3]=t[0,2],所以前面3個字元已經不需要匹配,直接匹配s[4]和t[3]即可,這時一次就發生失配,所以extend[1]=3。這個例子很有代表性,有興趣的讀者可以繼續計算完剩下的extend陣列。
1. 拓展kmp演算法一般步驟
通過上面的例子,事實上已經體現了拓展kmp演算法的思想,下面來描述拓展kmp演算法的一般步驟。
首先我們從左到右依次計算extend陣列,在某一時刻,設extend[0...k]已經計算完畢,並且之前匹配過程中所達到的最遠位置為p,所謂最遠位置,嚴格來說就是i+extend[i]-1的最大值(0<=i<=k),並且設取這個最大值的位置為po,如在上乙個例子中,計算extend[1]時,p=3,po=0。
現在要計算extend[k+1],根據extend陣列的定義,可以推斷出s[po,p]=t[0,p-po],從而得到 s[k+1,p]=t[k-po+1,p-po],令len=next[k-po+1],(回憶下next陣列的定義),分兩種情況討論:
第一種情況:k+len
如下圖所示:
上圖中,s[k+1,k+len]=t[0,len-1],然後s[k+len+1]一定不等於t[len],因為如果它們相等,則有s[k+1,k+len+1]=t[k+po+1,k+po+len+1]=t[0,len],那麼next[k+po+1]=len+1,這和next陣列的定義不符(next[i]表示t[i,m-1]和t的最長公共字首長度),所以在這種情況下,不用進行任何匹配,就知道extend[k+1]=len。
第二種情況: k+len>=p
如下圖:
上圖中,s[p+1]之後的字元都是未知的,也就是還未進行過匹配的字串,所以在這種情況下,就要從s[p+1]和t[p-k+1]開始一一匹配,直到發生失配為止,當匹配完成後,如果得到的extend[k+1]+(k+1)大於p則要更新未知p和po。
至此,拓展kmp演算法的過程已經描述完成,細心地讀者可能會發現,next陣列是如何計算還沒有進行說明,事實上,計算next陣列的過程和計算extend[i]的過程完全一樣,將它看成是以t為母串,t為字串的特殊的拓展kmp演算法匹配就可以了,計算過程中的next陣列全是已經計算過的,所以按照上述介紹的演算法計算next陣列即可,這裡不再贅述。
2. 時間複雜度分析
下面來分析一下演算法的時間複雜度,通過上面的演算法介紹可以知道,對於第一種情況,無需做任何匹配即可計算出extend[i],對於第二種情況,都是從未被匹配的位置開始匹配,匹配過的位置不再匹配,也就是說對於母串的每乙個位置,都只匹配了一次,所以演算法總體時間複雜度是o(n)的,同時為了計算輔助陣列next[i]需要先對字串t進行一次拓展kmp演算法處理,所以拓展kmp演算法的總體複雜度為o(n+m)的。其中n為母串的長度,m為子串的長度。
下面是拓展kmp演算法的關鍵部分**實現。
const int maxn=100010; //字串長度最大值
int next[maxn],ex[maxn]; //ex陣列即為extend陣列
//預處理計算next陣列
void getnext(char *str)
{ int i=0,j,po,len=strlen(str);
next[0]=len;//初始化next[0]
while(str[i]==str[i+1]&&i+1po+next[po],則要從頭開始匹配
while(i+jex[po]+po則要從頭開始匹配
while(i+j
拓展kmp演算法總結
演算法總結第二彈,上次總結了下kmp,這次就來拓展kmp吧。拓展kmp是對kmp演算法的擴充套件,它解決如下問題 定義母串s,和字串t,設s的長度為n,t的長度為m,求t與s的每乙個字尾的最長公共字首,也就是說,設extend陣列,extend i 表示t與s i,n 1 的最長公共字首,要求出所有...
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KMP總結及拓展
之前集訓的時候曾經自學過kmp,好像就把模板打了就走了,沒有深入理解kmp,今天藉著老師講解,重新加強鞏固了一番,僅以此篇紀念。宣告 此篇部落格不是教學,僅作為之後複習的資料。kmp解決的是字串匹配問題,當詢問乙個較短串在乙個較長串 現的次數及位置時,就可以用kmp演算法了。給定兩個由小寫字母構成的...