從數學上看，分布函式f(x)=p(x
假設有一元隨機變數x,如果x是連續隨機變數，那麼可以定義它的概率
密度函式(probability density function, pdf) f(x),有時成為密度函式。
在數學中，連續型隨機變數的概率密度函式（在不至於混淆時可以簡稱為密度函式）是乙個描述這個隨機變數的輸出值，在某個確定的取值點附近的可能性的函式。它本身不是乙個概率值, 可以大於1. 在xx上積分後才是概率值。
我們用pdf在某一區間上的積分來刻畫隨機變數落在這個區間中的概率，即
如果x是離散型隨機變數，那麼可以定義它的**概率質量函式（probability mass function, pmf）px(x)。概率質量函式 (probability mass function，pmf)是離散隨機變數在各特定取值上的概率。即，它本身就是乙個概率值。
與連續型隨機變數不同，這裡的pmf其實就是高中所學的離散型隨機變數的分布律，即
比如對於擲一枚均勻硬幣，如果正面令x=1，如果反面令x= 0。那麼它的pmf就是
概率質量函式和概率密度函式不同之處在於：概率密度函式是對連續隨機變數定義的，本身不是概率，只有對連續隨機變數的取值進行積分後才是概率。對於連續型隨機變數, 它任意乙個確定xx值的概率值都是0, 即:
prob(x=x)=0prob(x=x)=0
而對離散型隨機變數, 它在任意乙個xx值的概率值就是它的pmf.
如果概率密度函式fx(x) 在一點x 上連續，那麼累積分布函式可導，並且它的導數：
概率密度函式用數學公式表示就是乙個定積分的函式，定積分在數學中是用來求面積的，而在這裡，你就把概率表示為面積即可！左邊是f(x)連續型隨機變數分布函式畫出的圖形，右邊是f(x)連續型隨機變數的概率密度函式畫出的影象，它們之間的關係就是，概率密度函式是分布函式的導函式。
兩張圖一對比，你就會發現，如果用右圖中的面積來表示概率，利用圖形就能很清楚的看出，哪些取值的概率更大！所以，我們在表示連續型隨機變數的概率時，用f(x)概率密度函式來表示，是非常好的！
但是，可能讀者會有這樣的問題：
q：概率密度函式在某一點的值有什麼意義？
a：比較容易理解的意義，某點的 概率密度函式 即為 概率在該點的變化率(或導數)。很容易誤以為 該點概率密度值 為 概率值.
比如: 距離(概率)和速度(概率密度)的關係.
某一點的速度, 不能以為是某一點的距離
沒意義,因為距離是從xx到xx的概念
所以, 概率也需要有個區間.
這個區間可以是x的鄰域（可以無限趨近於0）。對x鄰域內的f（x）進行積分，可以求得這個鄰域的面積，就代表了這個鄰域所代表這個事件發生的概率。
而不管x是什麼型別（連續/離散/其他）的隨機變數，都可以定義它的累積分布函式（cumulative distribution function ,cdf）fx(x)，有時簡稱為分布函式。
cdf的定義是：
對於連續型隨機變數，顯然有
，那麼分布函式cdf(fx(x))就是密度函式pdf(fx(t))的積分，pdf就是cdf的導數。
對於離散型隨機變數，其cdf是階梯狀的分段函式，比如舉例中的擲硬幣隨機變數，它的cdf如下
另外cdf的單調遞增（不減）性質可以由它的定義和概率的性質推出，因為對任意x1，所以
正態分佈是重要的概率分布。它的概率密度函式是：
隨著引數μ和δ變化，概率分布也產生變化。
隨機變數x的n階矩是x的n次方的期望值，即
x的方差為
更廣泛的說，設g 為乙個有界
連續函式，那麼隨機變數g(x)的數學期望
對概率密度函式作類似傅利葉變換可得特徵函式。
特徵函式與概率密度函式有一對一的關係。因此，知道乙個分布的特徵函式就等同於知道乙個分布的概率密度函式。
概率分布函式和概率密度函式
如果隨機變數的值可以都可以逐個列舉出來，則為離散型隨機變數。如果隨機變數x的取值無法逐個列舉則為連續型變數。通俗解釋 能夠用日常使用的量詞度量的取值，如次數，個數，塊數等都是離散型隨機變數。無法用這些量詞度量，且取值可以取到小數點2位，3位甚至無限多位的時候，那麼就是連續型隨機變數 如果微積分是研究...
概率密度函式f x 某一點的值的含義
今天看了一下樸素貝葉斯演算法。在看到如果樣本的某個特徵是連續屬性的情況下，需要計算出在所有類別下該特徵 該特徵在不同類別下的 高斯分布，說白了就是求出來在某一類別下該特徵的均值和標準差。那麼，給某乙個特徵的值，在帶入該特徵在各類的概率密度函式 pdf 就可以得到書中所說的 後驗概率 那麼問題來了，對...
概率分布函式, 概率密度函式與概率質量函式
p x p rob x p x prob x p x prob x x x x可以是連續的,也可以是離散的隨機變數.為連續隨機變數定義的 p x p x p x p x p x p x x 它本身不是乙個概率值,可以大於1.在x x x上積分後才是概率值.x x 在數學中，連續型隨機變數的概率密度函...