給定\(n\)個矩陣\(\)，其中\(a_i\)與\(a_\)是可乘的\((i = 1, 2,\ldots, n - 1)\)，矩陣\(a_i\)的維數為\(p_*p_i, i=1, 2,\ldots,n\)。考察這\(n\)個矩陣的連乘積\(a_1a_2\ldots a_n\)。要求通過新增括號使得矩陣連乘時，數乘次數最少。例如連乘積\(a_1a_2a_3a_4\)可以有以下5種完全加括號方式：\((a_1(a_2(a_3a_4)))\)，\((a_1((a_2a_3)a_4))\)，\(((a_1a_2)(a_3a_4))\)，\(((a_1(a_2a_3))a_4))\)，\((((a_1a_2)a_3)a_4)\)
將矩陣連乘\(,\ldots,a_j}\)簡記為\(a[i:j]\)。為考察計算\(a[1:n]\)的計算次序，設這個計算次序在矩陣\(a_k(1\le k和\(a_\)之間將矩陣鏈斷開，則其相應的完全加括號方式為\(((a_1,\ldots, a_k)(a_, a_n))\)。以此次序，先計算\(a[1:k]\)和\(a[k+1:n]\)，再計算結果相乘，得到總得計算順序為：\(a[1:k]\)的計算量加上\(a[k+1:n]\)的計算量，再加上\(a[1:k]\)和\(a[k+1:n]\)相乘的計算量。
對於矩陣連乘積的最優計算次序問題，設計算\(a[i:j](1\le i\le j\le n)\)，所需的最少數乘次數為\(m[i][j]\)，則原問題的最優值為\(m[1][n]\)。
當\(i = j\)時，\(a[i:j]=a_i\)為單一矩陣，無須計算，因此\(m[i][i] = 0 (i = 1, 2,\ldots, n)\)。
當\(i < j\)時，利用最優子結構性質來計算\(m[i][j]\)。若\(a[i:j]\)的最優次序在 \(a_k(i\le k和\(a_\)之間斷開，則\(m[i][j] = m[i][k] + m[k+1][j] + p_p_kp_j\)。
從而，\(m[i][j]\)可以遞迴定義為：
\[m[i][j]=
\begin
0 &\text \\
\underset}}
}} 例題分析:
要計算矩陣連乘積\(a_1a_2a_3a_4a_5a_6\)，其中各矩陣的維數分別如下表：
演算法matrixchain記錄了構造最優解所需的全部資訊。\(s[i][j]\)中的數表明，計算矩陣鏈\(a[i:j]\)的最佳方式是在矩陣\(a_k\)和\(a_\)之間斷開，即最優加括號方式為\((a[i:k])(a[k+1:j])\)。而\(a[1:s[1][n]]\)的最優加括號方式為\((a[1:s[1][n]])(a[s[1][n]+1:n])\)。算了，直接看**吧......
void traceback(int i, int j, int **s)動態規劃之矩陣連乘問題
在動態規劃演算法中，區域性最優並不一定會使得全域性最優，它在每乙個階段的決策都會影響到後面的決策。所以我們在將問題劃分為若干階段時，需要將各個階段所發生的不同狀態儲存起來，提供後一階段做決策。一般都是子問題重疊的時候使用動態規劃。下面是乙個矩陣連乘的問題。問題 n個矩陣連乘問題 描述 矩陣連乘滿足結...
動態規劃之矩陣連乘問題
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矩陣連乘 動態規劃 動態規劃解矩陣連乘問題
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