動態規劃之矩陣連乘問題

在動態規劃演算法中，區域性最優並不一定會使得全域性最優，它在每乙個階段的決策都會影響到後面的決策。所以我們在將問題劃分為若干階段時，需要將各個階段所發生的不同狀態儲存起來，提供後一階段做決策。一般都是子問題重疊的時候使用動態規劃。下面是乙個矩陣連乘的問題。

問題：n個矩陣連乘問題

描述：矩陣連乘滿足結合律，在n個矩陣連乘時，什麼樣的結合方式可以使得整個過程中所做的乘法次數最小。

數量化：記 mi

* mi+1

… * mj 

的乘法次數記為mi,j，矩陣大小為：m1

=r1*r2

，m2=r

2*r3, mi=r

i * r

i+1。

因此，對於mi,j，我們可以知道，當 i = j 的時候，即連乘式子中只有乙個矩陣，此時mi,j = 0。當 j = i + 1 的時候，mi,j = r

i* r

i+1* r

i+2。因此

，對於一n個矩陣連乘的式子m1 * m2 … * mn ，我們可以直接知道所有相鄰的兩個矩陣的乘法次數。這個結論先放著。

我們繼續，當 j > i 時，我們可以將 m

i * m

i+1 

… * mj

根據結合律

成兩個連乘式子，劃分斷點為k，即劃分為了

(mi  * … * mk ) * (mk+1  * … * mj )，這裡的k的取值當然不止乙個，可以從i到j，即可以得到像下面這些這樣子的兩個式子：

mi * (mi+1  *… * mj )k = i

(mi  * mi+1 ) * (mi+2  * … * mj )k = i +１

(mi  * … * mj-1 ) * mj 

k = j - 1 m

i * m

i+1 

… * mj

k = j

分別求得各個k值情況下的最優，一直劃分，直到轉換成求相鄰兩個矩陣乘法次數的問題。每次都是取最優情況，比如最後k指向的是c，劃分為求a*b*c和+d的最優解，然後然後a*b*c的k有兩種取法，分別求這兩種取法下各自的乘法次數，儲存其中乘法次數較少的k值，這樣就可以直到是怎麼結合的了，得到較少的那種劃分。然後對於整個的a*b*c*d,對於每種k所求得的最小乘法次數，取得最小的k。

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