《演算法》筆記 2 動態連通性問題

在基礎部分的最後一節，作者用乙個現實中應用非常廣泛的案例，說明以下幾點：

動態連通性問題的輸入是一列整數對，其中的每個整數都表示乙個某種型別的物件，一對整數對p q可以理解為「p和q是相連的」。相連是一種等價關係，其具有：

程式的目標是過濾掉序列中無意義的整數對，當程式從輸入中讀取了整數對pq時，如果已知的所有整數對都不能說明p和q是相連的，那麼則將這一對整數寫入到輸出中。如果已知的資料可以說明p和q是相連的，那麼程式應該忽略pq這對整數並繼續處理輸入中的下一對整數。

動態連通性問題的實際應用很多，比如：檢查通訊網路中計算機之間是否連通、電子電路中的觸點是否連線或者社交網路中的人是否相識等等。

接下來會統一使用網路方面的術語，將整數稱為觸點、整數對稱為連線、等價類稱為連通分量或分量。

明確需要解決的問題後，就可以抽象出演算法的api了，包括

void union(int p,int q)  //在p q之間新增一條連線，將兩個分量歸併
int find(int p)  //返回p所在分量的識別符號
boolean connected(int p int q) //判斷兩個觸點是否在同一分量
int count() //連通分量的數量

通用**

演算法的基本**如下，其中find()、union()方法在各種演算法中有不同的實現。

public class uf 
}public int find(int p) 
public int count() 
public boolean connected(int p, int q) 
public void union(int p, int q) 
public static void main(string args) 
stdout.println(uf.count() + " components");
}}

quick-find演算法

實現最直接的方法是當p和q連通時，讓id[p]=id[q]，所以同一連通分量中的所有觸點在id中的值是全部相同的。find(p)只需返回id[p]，但union()方法在將p和q設定為同一連通分量時比較麻煩，需要改變p或q所在分量中所有元素的值。

public int find(int p) 
public void union(int p, int q) 
for(int i=0;i這種方法得到的find操作的速度很快，只需要訪問id陣列一次，但union操作由於每次都要掃瞄整個陣列而變得很慢。這裡**中是重新整理q所在的分量，也可以改為重新整理p所在的分量。
分析在分析演算法的成本時，主要考慮的是陣列的訪問次數（包括讀、寫）。
那麼quick-find演算法的成本如何呢？假設問題的規模為n，則陣列的長度為n，那麼每次find()只訪問陣列一次，union()訪問陣列的次數在(n+3)到(2n+1)之間。
開頭的兩次find呼叫訪問陣列2次，for迴圈會訪問陣列n次，然後：
a.在最好的情況下，q所在的連通分量中，只有q乙個成員，內層的if判斷只會成立一次。所以總次數=2+n+1=n+3次。
b.在最壞的情況下，除了元素p，其餘成員都與q在同乙個連通分量中，那麼內層的if判斷會成立n-1次，總次數=2+n+n-1=2n+1。
假設最後只得到乙個連通分量，則至少需要呼叫union方法n-1次，所以最好情況下，union方法的呼叫總次數為(n-1)*(n+3)，用~n^2來近似表示，可見在最終得到少數連通分量的場景下，quick-find演算法的執行時間隨問題規模的增長是平方級別的。平方級別、立方級別、指數級別的演算法等都無法用來解決大型問題。
quick-union演算法
接下來的quick-union演算法相比quick-find演算法，其union的速度較快。它也採用相同的資料結構——以觸點作為索引的id陣列，但這次讓每個陣列元素都代表同一連通分量中另乙個分量的名稱，實際上同一連通分量的節點構成了一棵樹，但陣列元素的值等於其索引時，它就是這棵樹的根節點。find()操作返回的就是一棵樹的根節點，如果兩個分量有相同的根節點則表示它們互相連通，否則呼叫union()方法將其中的一棵樹合併到另一顆樹上，就完成了兩個連通分量的歸併。
實現public int find(int p) 
return p;
}public void union(int p, int q) 
id[proot] = qroot;
count--;
}

分析

quick-union演算法的成本依賴輸入的特點，在最好的情況下，一棵樹只有根節點自己，find()只需訪問陣列一次；而在最壞的情況下，樹的結構為一顆深度為節點數-1，每一層都只有乙個節點，設數的深度為n，這時如果需要查詢最底層節點的根節點，find()方法需要訪問陣列n+(n+1)=2n+1次。

while (p != id[p])

在這種最壞的情況下，為了讓樹的深度最大，每次新的節點都會連線到樹的最底層，輸入整數對是有序的0-1，0-2，0-3等，其中0鏈結接到1,1鏈結到2，2鏈結到3，可見union的訪問次數為：(2n+1)+1+1=2n+3次

public void union(int p, int q) 
id[proot] = qroot; //1次
count--;
}

所以忽略常數3，處理n個節點的訪問次數為2(1+2+...+n)=2n(n-1)/2，用~n^2來近似表示，則最壞情況為平方級別。

加權quick-union演算法

quick-union演算法的速度取決於生成的樹的深度，深度越大速度越慢。union操作時，避免將較大的樹鏈結到較小的樹可以有效控制樹的深度，從而大大改進演算法的效率，這便是加權quick-union演算法。加權quick-union演算法是在quick-union演算法的基礎上，增加乙個陣列來記錄每顆樹的權重（樹包含的節點數量），然後在union操作時將權重小的樹鏈結到權重大的樹。

實現

public void union(int a, int b) 
if (size[aroot] < size[broot])  else 
count--;
}

分析

關於加權quick-union演算法的最壞情況，既較要被歸併的兩棵樹的大小總數相等的，且大小都是2的冪（滿二叉樹），此時n個節點的樹的深度為lg(n)，結合對quick-union演算法的分析可知加權quick-union演算法的成本增長數量級為對數級別。

綜上，動態連通性問題的求解過程便是乙個定義問題、給出初級演算法的實現、當演算法能解決問題的規模達不到期望時逐步改進演算法的過程。並且用經驗性的分析（和數學分析）驗證改進後的效果，盡量為演算法在最快情況下的效能提供保證，但在處理普通資料時也要有良好的效能。

《演算法》筆記 2 動態連通性問題

動態連通性問題

連通性問題

SOJ 連通性問題

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