學習筆記凸包

想學斜率優化，先把先決條件凸包給肝了。然後完全不懂，於是就咕了。順便看了一下線代（其實並不會）

講真這東西耗了我半個暑假

20210305更新：po學了向量回來了發現這寫的什麼玩意，已更新完畢，您可從更新部分跳至凸包部分。同時，原「前置知識：叉積」部分已棄用並放置於最後。

目錄更新

以下內容大部分在人教a版數學必修2第一章中涉及。

向量是什麼，你可以不必知道，只需知道其有兩個要素：方向和大小，它可以用有向線段表示。下文中我們將寫作\(\vec\)或\(\vec\)

我們先解釋一下向量的座標：將這條有向線段的起點置於 \((0,0)\)，則該線段的終點座標即為該向量的座標。

再解釋一下向量的共線判定，用數乘表示則是：對於向量\(\vec\),\(\vec\)，存在乙個實數\(\lambda\)，使得\(\lambda \vec = \vec\)。而引入座標後，設\(\vec\)座標為\((a_x,a_y)\)，\(\vec\)座標為\((b_x,b_y)\)，則若兩向量共線，則有

\(\huge a_x b_y-a_y b_x=0\)

這個形式便是叉積。類似的，通過畫圖，我們可以得出\(\vec\)和\(\vec\)的關係對應叉積與零的關係。(注：我們定義若乙個向量\(\vec\)，能通過順時針旋轉小於\(\frac\)與\(\vec\)所在的直線重合，則\(\vec\)在\(\vec\)的右邊。反之同理。)

先給出結論，若\(\vec\)

\(\vec\)叉積小於零，則\(\vec\)在\(\vec\)的左邊。

需要注意的是，下文中，我們的原點不一定是\((0,0)\)，而可能是其他點。而對應的，座標也並非相對於\((0,0)\)，而是我們定義的，會改變的「原點」。一般的，按照下圖的情況，我們將會定義原點為\(p\)。

凸包初講

我們定義，在平面上能包含所有給定點的最小凸多邊形叫做凸包。凸包的周長最小。

簡單的說，平面上有一些點，你要用乙個凸多邊形把它們圍起來。並且這個多邊形最小。

**實現

這裡介紹一種實現凸包的演算法。

首先我們可以將所有點按照其\(x\)座標和\(y\)座標做雙關鍵字排序。然後我們分別維護上凸殼和下凸殼，維護凸殼我們用單調棧實現。顯然第乙個點和最末點一定在凸包上，所以我們可以從前往後找可以維護上凸殼，從後往前找可以維護下凸殼。

根據凸多邊形的定義，若點\(y\)在點\(x\)的右邊，則線段\(xy\)則一定不在凸包上。

根據這個原理，我們在單調棧維護點時，若找到這種不凸的點，則將其彈出。直到凸了才將點入棧。要注意的是，判斷凸不凸至少需要3個點，即棧中至少要有2個點

以上面圖為例，我們首先將\(a\)和\(p\)入棧，到\(b\)時，發現\(\vec\)與\(\vec\)的叉積大於0，即\(b\)在\(a\)點右邊，這顯然不合法，於是將\(p\)彈出，此時棧中僅有\(a\)乙個點，將\(b\)入棧。

對於共線的情況，可以靈活處理。

當我們正著做一遍，倒著做一遍，凸包就求出來了。

例題本題顯然求的是凸包的周長

例題**

#includeusing namespace std;
double ans;
int n,q[10100];
struct point
p[10100];
bool cmp(point x,point y)
//叉積
double len(point x,point y)
//長度計算
int main()
sort(p+1,p+1+n,cmp);
//*****上凸殼====
int h=0,t=1;
q[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
q[++t]=i;
}    //===下凸殼====
h=t-1;
for (int i=n-1;i>0;i--)
{		while (h+1分割線
以下為棄用部分。
前置知識：叉積
這個屬於線性代數，有興趣的請上b站學習。推薦鏈結
下文中將使用\(*\)代指乘，用\(\times\)代指叉積
根據某些線代知識，叉積在幾何意義上代表的是以\(a\),\(b\)兩個向量為兩條邊的平行四邊形的面積。
而叉積的運算公式（簡略版）為
\(\huge a.x*b.y-a.y*b.x\)
注意，這裡的\(x\)，\(y\)，都是相對於某一點而言的。例如，下圖的\(x\)與\(y\)相對於點\(p\)而言，而不是相對於點\(o\)而言。
求出叉積後，我們可以借助其來判斷兩個點的相對位置。
我們定義若乙個向量\(x\)，能通過順時針旋轉小於\(180\)度角與\(y\)所在的直線重合，則\(y\)在\(x\)的右邊。反之同理。則叉積與方向的關係為
若\(a \times b >0\)則\(b\)在\(a\)的右邊
若\(a \times b <0\)則\(b\)在\(a\)的左邊
若\(a \times b =0\)則兩點共線

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