學習筆記 牛頓迭代法

假設我們有函式\(f(x)\)，\(x\)在\(x_0\)處有\(\infty\)階導數。

我們知道\(f(x_0)\) 的值

我們希望構造乙個多項式\(g\)，使它盡可能逼近函式\(f\)。

\(\beging(x)&=\xi_0+f(x_0)+\frac(x_0)}(x-x_0)^1+\frac(x_0)}(x-x_0)^2+...+\frac(x_0)}(x-x_0)^n\\&=\xi_0+f(x_0)+\sum_^\frac(x_0)}(x-x_0)^i\end\)

這即是泰勒展開。

假設我們要求：\(f(b(x))\equiv0(\mod x^)\)，\(b(x)\)為多項式

設 \(b_t(x)\equiv b(x)(\mod x^)\)

首先，我們可以很容易的算出\(b_0\)。

假設我們已經求出了\(b_\)。

\(\beginf(b_(x))&=f(b_t(x))+\sum_^n\frac(b_t(x))\times(b_(x)-b_t(x))^i}\\&=f(b_t(x))+\frac(x)-b_t(x))}\end\)

因為 \(f(b_t(x))\equiv0(\mod x^)\)，

所以 \((b_(x)-b_t(x))^n=0(n\ge2)\)

\(b_(x)=b_t(x)+\frac(x))-f(b_t(x))}\)

\(b_(x)=b_t(x)-\frac(x))}\)

這即使牛頓迭代法的式子。

即求：\(a(x)\times b(x)\equiv1\) （\(a\)為原多項式係數）

有：\(f(b_t(x))=a(x)\times b_t(x)-1\)

\(\beginb_(x)&=b_t(x)-\frac\\&=b_t(x)-b_t(x)\times(a(x)\times b_(x)-1)\\&=-a(x)\times b_t^2(x)+2b_t(x)\end\)

（因為\(a\times b\equiv 1\)，所以除以\(a\)即是乘上\(b\)）

void inv(int *f,int *g,int n)\ln a(x)&=b(x)\\\frac&=b'(x)\end\)

然後只要積分即可。

void qiud(int *f,int *g,int n)=b(x)\)

\(a(x)=\ln b(x)\)

有：\(f(b_t(x))=\ln b(x)-a(x)\)

\(\beginb_(x)&=b_t(x)-\frac}\\&=b_t(x)\times(1-\ln b_t(x)+a(x))\end\)

void exp(int *f,int *g,int n){

int c[n],d[n];

f[0]=1;

for (int l=2;l以上就是全部內容了，剛發現沒寫過\(fft\)的部落格，待會兒補一下。

學習筆記 牛頓迭代法

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