萬能公式
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
勾股定理
和角公式
$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha+\beta) = \dfrac$
差角公式
$\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha-\beta) = \dfrac$
和角公式差角公式的推導
在單位圓中，用向量$\overrightarrow$與向量$\overrightarrow$分別代表角$\alpha,\beta$的終邊，$x$軸正半軸為始邊，則
$\overrightarrow = (\cos\alpha, \sin\alpha), \overrightarrow = (\cos\beta, \sin\beta)$
則 $\overrightarrow·\overrightarrow = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
設其夾角為$θ$，則$\overrightarrow·\overrightarrow = |\overrightarrow|·|\overrightarrow| \cos(θ) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
因此$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
又因為$\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha-(-\beta))$，因此有$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
又因為誘導公式$\sin\alpha = \cos(\dfrac-\alpha)$
因此$\sin(\alpha+\beta) = \cos(\dfrac-\alpha-\beta) = \cos(\dfrac-\alpha)\cos\beta+\sin(\dfrac-\alpha)\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
同理可推得$\sin(\alpha-\beta)$
$\tan(\alpha+\beta) = \dfrac = \dfrac$
上下同時除以$\cos\alpha\cos\beta$，即可得$\tan(\alpha+\beta) = \dfrac$
同理可推得$\tan(\alpha-\beta)$
和差化積公式(
一次同名)
$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin(\dfrac)\cos(\dfrac)$
$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos(\dfrac)\sin(\dfrac)$
$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos(\dfrac)\cos(\dfrac)$
$\cos\alpha - \cos\beta = 2\sin(\dfrac)\sin(\dfrac)$
$\tan\alpha + \tan\beta = \dfrac$
$\tan\alpha - \tan\beta = \dfrac$
和差化積公式的推導
$\sin\alpha = \sin(\dfrac +\dfrac ) = \sin(\dfrac)\cos(\dfrac)+\sin(\dfrac)\cos(\dfrac)$
$\sin\beta = \sin(\dfrac -\dfrac ) = \sin(\dfrac)\cos(\dfrac)-\sin(\dfrac)\cos(\dfrac)$
兩式相加即可得$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin(\dfrac)\cos(\dfrac)$
同理可推導
$\cos\alpha + \cos\beta$與$\cos\alpha - \cos\beta$
$\tan\alpha + \tan\beta = \dfrac + \dfrac$，通分即可
倍角公式（這裡是指二倍角公式）
$\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$
$\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha$
$\tan(2\alpha) = \dfrac$
以上公式利用和角公式證明即可
由於$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$，可得
$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha-1$
$\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$
半形公式
$\sin(\dfrac) = ±\sqrt}$
$\cos(\dfrac) = ±\sqrt}$
$\tan(\dfrac) = ±\sqrt}$
半形公式的推導
由倍角公式$\cos(2\alpha) = 1-2\sin^2\alpha$，將$\alpha$替換為$\dfrac$得$\cos\alpha = 1-2\sin^2(\dfrac)$，即$2\sin^2(\dfrac) = 1-\cos\alpha$
同理利用倍角公式$\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha-1$可推得$\cos(\dfrac)$
$\tan(\dfrac) = \dfrac)})} = \dfrac}}}} = ±\sqrt} $
常用三角函式公式
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