黑魔法師之門 magician 並查集

題目

輸入輸出

第一行包含兩個整數 n 和 m。接下來 m 行，每行兩個整數 a和 b，代表門控系統新增了一條無向邊 (a, b)。

輸出一共 m 行，表示每次操作後的密碼。

輸入樣例

4 8

3 13 2

2 12 1

1 31 4

2 42 3

輸出樣例

0 01

37715

題意簡述：每次加邊之後輸出當前圖滿足條件的子圖總個數。

解題思路：這道題，比較迷。首先我是沒有想到怎麼做的。但是，我發現輸出有點東西。簡化一下樣例輸出就是：0,1,3,7,15,31.大聲的告訴我，你們找到規律了嗎！沒找到。如此明顯，規律當然是依次*2+1了。可是我也發現答案也並不是這麼簡單，畢竟還是有加了邊卻沒發現子圖的。那麼什麼時候才能改變答案呢？我們不難發現，滿足題意的乙個顯而易見子圖為乙個三角形。三個點，三條邊。也就是說，加了邊之後能構成乙個三角形，就能*2+1.

那麼如何判斷是否為三角形？很簡單，判斷這條新邊的端點在沒加入之前是否有乙個共同的連線點。於是，就有了如下的**。

#include#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using
namespace
std;
intread()
while(ch>='
0'&&ch<='9'
)    
return res*f;
}const
int maxn=200005
;const ll mod=1000000009
;int
n,m;
setu[maxn];
ll ans;
intmain()
}u[b].insert(c);u[c].insert(b);
if(fl)ans=ans*2+1
;        printf(
"%lld\n
",ans);
}fclose(stdin);
fclose(stdout);
return0;
}

view code

不過這段**的速度與正確性都難以保證，畢竟乙個環也是滿足提議的，也就是說還要將能找到的更新一遍。絕對超時。

於是，就有了我們的並查集。（並查集是什麼我就不寫了）

運用並查集，若兩端在同一集合中，就*2+1，若不在，就加入到同一集合，不改變答案。

accode：

#include#include
#include
#include
#include
#include
#define ll long long
using
namespace
std;
intread()
while(ch>='
0'&&ch<='9'
)    
return res*f;
}const
int maxn=200005
;const ll mod=1000000009
;int
n,m;
intf[maxn];
ll ans;
int find_f(int
x)int
main()
else ans=(ans*2+1)%mod;
printf(
"%lld\n
",ans);
}fclose(stdin);
fclose(stdout);
return0;
}

view code

不過，筆者我到現在也不太能夠證明這個方法的正確性。我唯一能想到的解釋就是，若在同一集合，則必然找的到一條路徑使得兩端點聯通，此時這條路徑與新加入的邊是等價的。那麼此時新加入的邊與路徑構成乙個只有兩個點的圓，是乙個全新的子圖，這是+1.而新加入的邊同時也可以代替那一條路徑，使得原來的方案雙倍。這是*2.

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