題目描述
"可愛的妹子就像有理數一樣多，但是我們知道的，你在數軸上隨便取乙個點取到有理數的概率總是0，"芽衣在床上自顧自的說著這句充滿哲理的話，"誒，柚子，我寫完概率論的作業你就和我出去約會怎麼樣""好呀，但是你要做完才可以哦"柚子回答道，芽衣立刻從床上翻下來衝到了座位上，誒，就一道題啊，真好，題目是這樣的：在乙個圓上任取n個點，求由這n個點依次圍成的凸n邊形至少有乙個銳角的概率是多少，芽衣急於和柚子去約會，當然沒有心情想這一道題，於是她就來求助聰明的你啦。
輸入乙個n,4<=n<=10000000000
輸出至少有乙個銳角的概率，為了避免精度問題，對1e9+7取模
樣例輸入
136865353
樣例輸出
423626558
題解微積分
顯然對於一張圖，如果有銳角，則一定存在逆時針方向連續的兩個角分別為鈍角和銳角，且這樣的連續兩個角僅存在一組。
那麼我們對這樣的部分單獨分析：
我們令點 $p$ 為該鈍角，點 $q$ 為該銳角。
那麼在其餘的點中，點 $p$ 逆時針前乙個點一定在 $\widehat$ 上，點 $q$ 逆時針後乙個點一定在 $\widehat$ 上。
因此其餘的點一定滿足條件：全部在 $\widehat$ 上，且至少有乙個在 $\widehat$ 上。
那麼滿足條件的概率就是：全部在 $\widehat$ 上的概率減去全部在 $\widehat$ 上的概率。
設 $\angle poq=x\times $ ，那麼對於剩下 $n-2$ 個有標號點，都在 $\widehat$ 上的概率為 $(\frac 12)^$ ，都在 $\widehat$ 上的概率為 $x^$ 。
因此對於固定的 $\angle poq= x\times $ ，其餘 $n-2$ 個點的選擇滿足條件的概率為 $(\frac 12)^-x^$ 。
所以對於無標號的 $p$ 和 $q$ ，有標號的剩餘點選擇滿足條件的概率就是 $\int_0^((\frac 12)^-x^)dx=\frac(\frac 12)^$ 。
由於我們考慮的情況沒有討論到 $p$ 和 $q$ 的標號，因此還要乘上 $p$ 和 $q$ 的標號方案數 $n(n-1)$ 。
最終答案為 $n(n-2)(\frac 12)^$ 。
時間複雜度 $o(\log n)$ 。
#include #define mod 1000000007int main()
printf("%lld\n" , ans);
return 0;
}
有趣的生日概率問題
生日概率問題，記得高中課本有出現過，一道挺有趣的數學概率題。假如乙個班裡面有50個人，問至少有兩個人生日相同的概率大還是沒有生日相同的概率大呢？不考慮閏年，一年為365天 很多人的第一反應就是 我們班大概也這麼多人，好像沒聽說有人生日相同哦，有生日相同的概率應該比較小吧。事實並非和如此，仔細分析然後...
BZOJ 1485 有趣的數列
我們稱乙個長度為2n的數列是有趣的，當且僅當該數列滿足以下三個條件 1 它是從1到2n共2n個整數的乙個排列 2 所有的奇數項滿足a134 3 任意相鄰的兩項a2i 1與a2i 1 i n 滿足奇數項小於偶數項，即 a2i 1 2i。現在的任務是 對於給定的n，請求出有多少個不同的長度為2n的有趣的...
BZOJ4240 有趣的家庭菜園
給出乙個長度為n的序列，可以將相鄰的數交換位置，要求通過最少交換次數使得這個序列呈左邊段不遞減，右邊段不遞增 樹狀陣列 貪心 將每個數一開始的下標為原本的位置，最後得到的序列的逆序對數就是操作的次數 首先得到的序列肯定是最大的在中間，第二大的在旁邊。那麼就貪心放值，放的時候找左右兩邊能產生逆序對最少...