《更新提示》
《正文》
你作為禮物收到乙個非常聰明的機械人走在矩形板上。不幸的是，你明白它已經破碎並且行為相當奇怪（隨機）。該板由n行和m列單元組成。機械人最初位於第i行和第j列的某個單元格中。然後在每一步，機械人都可以去另乙個細胞。目的是走到最底層（n.排。機械人可以停留在當前單元格中，向左移動，向右移動或移動到當前單元格下方的單元格。如果機械人位於最左側的列中，則它不能向左移動，如果它位於最右側的列中，則它不能向右移動。在每一步中，所有可能的動作都是同樣可能的。返回預期的步數以到達最下面一行。
在第一行中你將被提供兩個空間隔開的整數n和m(1≤n,m≤?1000)。在第二行中你將得到另外兩個空間隔開的整數i和j(1≤i≤n,1≤j≤m) ——初始行的數目和初始列的數量。注意，（1,1）是板的左上角，（n， m）是右下角。
在自身的一行上輸出預期的步數，小數點後至少有4位數。
10 14
5 14
18.0038068653我們可以根據移動規則很容易列出\(dp\)方程：
\(1.\) 當機械人處於第一列時：\(f[i][1]=\frac(f[i][1]+f[i][2]+f[i+1][1])+1\)我們發現，在行維度上，這個狀態轉移方程時沒有問題的，可以倒序列舉每一行作為階段，來進行轉移。\(2.\) 當機械人處於最後一列時：\(f[i][m]=\frac(f[i][m]+f[i][m-1]+f[i+1][m])+1\)
\(3.\) 當機械人處於中間列時：\(f[i][j]=\frac(f[i][j]+f[i][j-1]+f[i][j+1]+f[i+1][j])+1\)
但是，在同一行中，這個狀態轉移方程並不滿足無後效性這一動態規劃基本原則，於是我們決定使用高斯消元演算法來解方程。
總體上，我們還是以行號為階段，倒序進行轉移。在第\(i\)行行內，我們將\(i+1\)行的狀態看為常數，剩下的狀態看做\(m\)個未知數，\(m\)個狀態轉移方程看做數學方程，嘗試列出增廣矩陣。
先看第一類方程：\(f[i][1]=\frac(f[i][1]+f[i][2]+f[i+1][1])+1\)，簡單做一下移項分類：
\[2f[i][1]-f[i][2]=f[i+1][1]+3
\]同理，可以化簡剩下兩個方程：
\[-f[i][j-1]+3f[i][j]-f[i][j+1]=f[i+1][j]+4
\]\[-f[i][m-1]+2f[i][m]=f[i+1][m]+3
\]那就可以寫出係數矩陣了：
\[\left[
\begin
2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & f[i+1][1]+3 \\
-1 & 3 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & f[i+1][2]+4 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots& -1 & 3 & -1 & f[i+1][m-1]+4 \\
0 & 0 & 0 & \cdots& 0 & -1 & 2 & f[i+1][m]+3 \\
\end
\right]
\]我們發現這個矩陣很特殊，總共只有三條斜列有係數，所以我們可以線性直接消元。具體的說，我們可以從上往下消一遍，將第一斜列的係數消去，同時正確地處理第二第三斜列。再從下往上消一遍，將第三斜列的係數消去，這樣就可以直接計算答案了。
利用如上的\(dp\)以及高斯消元演算法，時間複雜度為\(o(nm)\)。
值得注意的是，這三個方程在\(m=1\)是會出現邊界問題，簡單推導可知\(m-1\)時答案就是\((n-x)*2\)。
\(code:\)
#include using namespace std;
const int n = 1020;
int n,m,x,y;
double f[n][n],a[n][n],b[n];
inline void input(void)
inline void init(void)
}inline void dp(void)
{ for (int i=1;i<=m;i++)
f[n][i] = 0;
for (int i=n-1;i>=1;i--)
{init();
b[1] = f[i+1][1] + 3.0;
for (int j=2;j《後記》
後效性 囚徒困境
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消木塊 模型 設計消除後效性
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