noip2007提高組題解

第一題：統計數字

排序/平衡二叉樹

受上面這篇文章的影響，我沒有用快排，而是用了stl的multiset的count函式來統計出現次數。但事實證明stl的sort足以應付此題。另外的解法是用treap實現的名次樹，效率不及sort但高於multiset。

第二題：字串的展開

模擬

雖然是模擬題但是可惜沒有1次ac。原因出在我沒有考慮到連續的兩個展開，比如：

1 1 1

a-c-e

展開後應該是：abcde。而我的策略是處理掉乙個「展開」操作後就馬上輸出前面的部分並刪除，這就導致輸出的結果是：abc-e。實際上應該保留後面的這個字元，以便作為另乙個展開操作的開頭。

第三題：矩陣取數遊戲

動態規劃、高精度

不得不承認我一開始確實想不到思路。看了網上的題解，發現主要是兩種方法：（以下描述均針對矩陣的每一行，最終結果即各行結果之和）

f(i, j) 表示在左邊取i個數、在右邊取j個數能得到的最大分數，則

f(i, j) = max

f(i, j) 表示從第i個格仔取到第j個格仔能得到的最大分數，則

f(i, j) = 2*max

其中第二種方法很巧妙地避開了高精度乘法，用2在狀態轉移的時候進行累乘。最後，高精度最好用加法 char 而不要用 string，兩者速度相差太明顯了（幾乎是超時與無壓力ac的區別）。

第四題：樹網的核

dfs

這道題目的特點是用大量的概念、定義來嚇唬人。

幾乎所有網路上的題解都說「只要對於一條直徑進行計算即可」，但是我想不明白。那就姑且承認這個結論。

首先，在樹上找到一條直徑。方法如下：

從樹上任意一點 u 出發，找到距其最遠的點 v；從 v 出發，找到距其最遠的點 x。

路徑 v -> x 即樹網的直徑。（證明見注釋）

然後找核。列舉直徑上的每個點，向單方向擴充套件出一段長度小於等於 s 的「核」，然後對於「核」上的每乙個結點，求出它到每個點的最短距離。在所有這些最短距離中找出最大值，這個值就是現在這個「核」的偏心距。找到所有偏心距中最小的乙個即可。

注釋：關於用兩次遍歷求出直徑的方法的正確性，證明如下：

首先，我們要證明從樹上任意一點 u 出發找到的最遠結點 v 必然是直徑的乙個端點。如果能夠得到這個結論，整個方法的正確性就顯然了。

先假設我們找到的 v 結點不是直徑的端點。

我們可以證明 u->v 必然與直徑 a->b 有交叉點。

如果沒有交叉點，任選兩條路徑的兩個端點相連就能得到一條更長的路徑。如下圖。

所以，既然有交叉點，設交叉點為 x，由 u->v 大於 u->a，可以推出 x->v 大於 x->a，那麼路徑 v->x->b 比 a->b 更長，a->b 不是直徑，矛盾。

所以 v 只能是直徑的端點。