原理概述：
有ｎ只鴿子和ｍ個鴿洞，所有鴿子都住在鴿洞裡，如果ｎ＞ｍ，那麼至少有二只鴿子必須住在同一鴿洞裡。
函式觀點：
把鴿子看成是定義域ａ中元素ａi，鴿洞看成是值域ｂ中的元素ｂj，鴿子住鴿洞作為函式關係。
鴿洞原理：
設ｆ是從有限集ａ到有限集ｂ的函式，若｜ａ｜＞｜ｂ｜，則必有ａ1，ａ2∈ａ，ａ1≠ａ2，使ｆ（ａ1）＝ｆ（ａ2）＝b∈ｂf 包含於ｂ（ｂf是象域）。
反證：若對任意ａ1，ａ2∈ａ，ａ1≠ａ2，ｆ（ａ1）≠ｆ（ａ2），｜ａ｜＝｜ｂf｜≤｜ｂ｜與｜ａ｜＞｜ｂ｜矛盾
注：鴿洞原理本質上是對乙個非一對一函式的充分性判別。
這個原理看上去容易理解，且有廣泛的應用。
例１：在ｎ2＋１個不同整數的任意排列中，證明一定存在長為ｎ＋１的上公升子串行或下降子串行。
證明：
設此序列為：ａ1，ａ2，…，ａk，…，從ａk開始上公升子串行長度為ｘk，下降子串行長度為ｙk，每乙個ａk（ｋ＝１，２，…，ｎ２＋１）都對應了（ｘk，ｙk）。
若不存在長為ｎ＋１的上公升或下降子串行，那麼ｘk ≤ｎ，ｙk≤ｎ，形如（ｘk，ｙk）的不同點對至多有ｎ2個，而ａk有ｎ2＋１個，必有ａi，ａj（１≤ｉ＜ｊ≤ｎ＋１）同時對應（ｘi，ｙi）＝（ｘj，ｙj）。
由於ａi≠ａj，若ａi＜ａj，則ｘi至少比ｘj大１，若ａi＞ａj，則ｙi至少比ｙj大１，與（ｘi，ｙj）＝（ｘj，ｙj）矛盾。
例２： １３２個球放入７７個盒子內，每盒至少放一球，求證：一定有２１個球放在相鄰的某幾隻盒子裡。
證明：
設第ｋ個盒子裡放的球為ｂk，得到ｂ1，ｂ2，…，ｂ77，按題意，欲尋找ｉ和ｊ，ｉ＞ｊ≥０，使ｂj+1＋ｂj+2＋…＋ｂi＝２１，即完成證明。
設ａk＝，得到ａ1，ａ2，…，ａ77，顯然，｛ａk｝是嚴格單調上公升的，ａi≠ａj （ｉ≠
設 ｃk＝，得到ｃ1，ｃ2，…，ｃ77，｛ｃk｝也是嚴格單調上公升的，ｃi≠ｃj （ｉ≠ｊ），且ｃ77＝１５３，ｃi＝ａi＋２１。
｛ａk｝與｛ｃk｝合在一起共有１５４個，但只能在１～１５３中取值，由鴿洞原理，必有二個相同，且不會同是ａk中的，也不會同是ｃk中的，不妨ａi＝ｃj＝ａj＋２１，ａi－ａj＝２１，即，得到ｂj+1 ＋ｂj+2＋…＋ｂi＝２１。
例３：
設ｘ1，ｘ2，…，ｘn是任意排列的任意整數，證明其中存在連續的若干個數，它們之和是ｎ的倍數。
證明： 設ａi＝
若ａi中有ｎ的倍數，則命題成立
若ａi中沒有ｎ的倍數，由ｎ除ａi的餘數只能在１～ｎ－１中取
以ａi（ｉ＝１，２，…，ｎ）作鴿子，１～ｎ－１作鴿洞，ａi，ａj，使ａi≡ａj（ｍｏｄｎ）（ｉ＞ｊ），則 ｎ｜（ａi－ａj）， 即ｘj+1＋ｘj+2＋…＋ｘi是ｎ的倍數。
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