復值函式的積分是這樣定義的.設有向曲線$\gamma:z=z(t),t\in[\alpha,\beta]$,並且$a=z(\alpha)$為起點,$b=z(\beta)$為終點.現沿著$\gamma$方向任取分點
\[a=a_,a_,\cdots,a_=b\]
考慮和式
$$s_=\sum_^f(\xi_)\delta_,\xi_\in[a_,a_]$$
當分點無限增多,而
$$\max\\}\to0$$
時,如果$\lim\limits_s_$存在且等於$i$,稱$f(z)$沿$\gamma$可積,記做
$$i=\int_f(z)z.$$
如果設$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$,則
\[\int_f(z)z=\int_(u+iv)(x+iy)\]
\[=\int_ux-vy+i\int_vx+uy\]
如同實函式一樣,同樣的我們用外微分形式的觀點來看復值函式的積分.為此我們將給定函式$f(z)$視作$z,\overline$的函式且二者獨立.那麼
\[\overline\wedgez=(x-iy)\wedge(x+iy)\]
\[=2i\sigma\]
這裡$\sigma$為二維的面積元素.並且我們再定義運算元
\[\partial f=\fracz,\overlinef=\frac}\overline\]
並且設$\omega$是乙個復的外微分形式,定義
\[\omega=\partial\omega+\overline\omega\]
顯然$\omega\equiv0$.據此我們便可得到復形式的green公式:
設$\omega=\omega_z+\omega_\overline$為區域$\omega$上的一次外微分形式,則
\[\int_\omega=\int_\omega\]
他的證明也是容易的,只需設$\omega_=f_+ig_,\omega_=f_+ig_$,其中$f,g$都是實函式,只需計算$\omega$即可.
而由green公式可得到所謂的pompeiu公式：
若$\omega\subset\mathbb c$為有界區域,且有$c^1$邊界條件,設$f(z)\in c^1(\overline)$,
那麼我們有
\[f(z)=\frac\int_\frac\zeta-\frac\int_\frac}\cdot\frac\sigma}\]
我們來證明一下,取$z$的鄰域$b(z,\varepsilon)\subset \omega$,據green公式有
\[\int_\frac\zeta=\int_\left(\frac\zeta\right)\]
我們來計算外微分形式$\left(\frac\zeta\right)$,由於
\[\left(\frac\zeta\right)=\frac}\left(\frac\right)\overline\wedge\zeta\]
\[=\frac}\cdot\frac\overline\wedge\zeta}+f(\zeta)\frac}\left(\frac\right)\overline\wedge\zeta\]
注意到函式$g(\zeta)=\frac$在$\omega\setminus b(z,\varepsilon)$內全純,從而
\[\frac}=0\]
因此\[\int_\frac\zeta=\int_\frac\zeta+2i\int_\frac}\cdot\frac\sigma}\]
\[=\int_\frac\zeta+f(z)\int_\frac\zeta}+2i\int_\frac}\cdot\frac\sigma}\]
(記上式為"*")先來看第一項,注意到$f(z)\in c^1(\overline)$,設
\[f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\]
則$u,v$均在$\overline$上具有一階連續偏導數,再設$\zeta=x_+iy_,z=a+ib$,則
\[\left|\frac\right|=\frac\cdot\left|\left.\frac\right|_,y_)}(x_-a)+\left.\frac\right|_)}(y_-b)+i\left.\frac\right|_,y_)}(x_-a)+i\left.\frac\right|_)}(y_-b)\right|\]
\[\leq\left|\left.\frac\right|_,y)}\right|+\cdots\leq m\]
因此\[\left|\int_\frac\zeta\right|\leq 2m\pi\varepsilon\]
而第二項
\[f(z)\int_\frac\zeta}=f(z)\int_^\frac}}\theta\]
\[=2\pi if(z)\]
這樣在"*"式中令$\varepsilon\to0^+$(此時$\omega\setminus b(z,\varepsilon)\to\omega$)即得欲證等式.
特別的,如果$f(z)$還在$\omega$內全純,那麼我們有所謂的cauchy積分公式
\[f(z)=\frac\int_\frac\zeta.\]
這是因為如果$f(z)$全純,那麼
\[\frac}=0\]
根據pompeiu公式即可得到.
而由cauchy積分公式即可得到cauchy積分定理：設$\omega\in\mathbb c$為有界區域且有$c^1$邊界條件,$f(z)$在$\omega$內全純,且$f(z)\in c^1(\overline)$,那麼我們有
\[\int_f(\zeta)\zeta=0\]
證明是簡單的,任取$z_\in\omega$,則函式$g(\zeta)=(\zeta-z_)f(\zeta)$在$\omega$內全純,且$g(\zeta)\in c^1(\overline)$,據cauchy積分公式即得結果.
反過來,我們也可以用cauchy積分定理得出cauchy積分公式.簡單證明一下
\[\int_\frac\zeta=\int_\frac\zeta+\int_\frac\zeta\]
據cauchy積分定理知上式第一項為零,而第二項我們再證明pompeiu公式時已經計算過,綜合一下即可得到cauchy積分公式.
所以說cauchy積分公式和cauchy積分定理是等價的.
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