根據上一節cauchy-goursat定理,我們立即可以得到許多重要的結果.
taylor定理：如果$f(z)$在$\omega$內全純且在$\overline$上連續,則$f(z)$在$\omega$內任一點處都無窮次可微,並且各階導數有計算公式
\[f^(z)=\frac\int_\frac}\zeta,n\in\mathbb n^+\]
並且若$z_\in\omega$,那麼在其完全落入$\omega$的閉鄰域$\overline(z_,r)$內$f(z)$可展開成taylor級數
\[f(z)=\sum_^\frac(z_)}(z-z_)^n\]
而且這個級數還是絕對且一致收斂的,形式上同數學分析裡面一樣.
我們來給出復的taylor定理的證明.採用數學歸納法,當$n=1$時,由cauchy-goursat定理可知
\beginf(z_)&=\frac\int_\frac}\zeta\\f(z)&=\frac\int_\frac\zeta\end
簡單計算可知\begin\frac)}}-\frac\int_\frac)^2}\zeta&=\frac}\int_\frac)^2}\zeta\end
注意到$z-z_\to0$,且右端積分是個有界量,從而可知
\[f'(z_)=\frac\int_\frac)^2}\zeta\]
至於$n$的情形，事實上是類似的.這樣就用數學歸納法證明了全純函式的各階導數的計算公式.
再來說明全純函式的taylor展開式,注意到\beginf(z_)&=\frac\int_\frac}\zeta\\&=\frac\int_\frac}\sum_^\left(\frac}}\right)^n\end
由此顯然與數學分析類似的我們只需說明上式的積分號和求和號可以交換即可,即只需說明
\[\int_\sum_^\left(\frac}}\right)^n\zeta=\sum_^\int_\left(\frac}}\right)^n\zeta\]
由已知條件不難根據weierstrass判別法得出(關於$\zeta$的)復函式項級數$\sum\left(\frac}}\right)^n$在$\partial\omega$上是一致收斂的,而我們很容易證明復函式項級數與實的一樣，如果一致收斂,那麼$\sum$與$\int$在收斂域內可交換次序.這樣的話我們很容易證明taylor定理.
另一方面由上述結果我們可以得到全純函式各階導數的乙個估計.對任意的$z_\in\omega$,取其閉鄰域$\overline(z_,r)\subset\omega$,則\begin\left|f^(z_)\right|\leq\frac\cdot\sup_(z_,r)}|f(z)|\end
根據taylor定理，我們立即得到cauchy-goursat定理的逆定理——morera定理：若$f(z)$在$\omega$內連續,且沿著$\omega$內任意一條可求長閉曲線的積分為零,則$f(z)$在$\omega$內全純.
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