復分析學習3 全純函式

復變函式的概念可以從數學分析中平移過來.如同實函式一樣我們來定義$\mathbb c$上的復值函式$w=f(z)$的連續性,為了方便,我們假設$f(z)$是單值的.我們稱如果

$$\lim_}f(z)=w_$$

用$\varepsilon-\delta$語言表述即為:對任意的$\varepsilon>0$,都存在著$\delta>0$使得當$|z-z_|<\varepsilon$時恒有

$$|f(z)-w_|<\varepsilon.$$

如果$\lim\limits_}f(z)=f(z_)$,則稱$f(z)$在$z_$處連續.類似的我們考慮極限

\[\lim_\frac(h\in\mathbb c)\]

(需要注意的是此處$h\to0$的方式有無窮多種)如果該極限存在，稱$f(z)$在$z$處可導.復值函式的可微性定義與實函式相同,事實上我們很容易可以證明$f(z)$在某一點處可導和可微是等價的.並且復值函式的導數的四則運算法則以及復合函式的運算都與實函式相一致,很容易推出.

學習數學分析時曾因werstrass構造出了處處連續而處處不可微的函式而感到十分驚訝,後來學習了泛函分析又看到了更為神奇的事實：這樣的函式的全體竟然是乙個第二綱集.雖然berenstein多項式給出了這樣的函式一種比較簡單的構造方式.然而在復分析中,這樣的函式我們卻可以信手拈來,比如

$$f(z)=z,\overline$$

等等.如果$f(z)$在某區域(連通的開集)$\omega$內每一點都可微,則稱$f(z)$在$\omega$內全純（或解析、正則）.如果我們設函式

\[f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\]

在某一點$z_=x_+iy_$處可微,我們很容易得到所謂的cauchy-riemann方程：在$z_$處我們有

\[u_=v_,u_=-v_\]

且$f'(z)=u_+iv_$.

然而這並不是乙個函式在該點可微的充要條件.反例也很容易舉出.我們適當加強條件便可得到:

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在某一點$z_$處可微等價於$u,v$均在點$(x,y)$處具有連續的一階偏導數且滿足cauchy-riemann方程.

他的證明也是容易的,此處不再給出.

事實上運用復值函式的taylor級數我們可以證明全純函式的導數也是全純的,因此上述充要條件右端可以弱化為：$u,v$在$(x,y)$處可微且滿足c-r方程.(因為數學分析我們知道若$u(x,y)$偏導數連續可得出其可微，但反之並不成立)

因為如果$f(z)=u+iv$在$\omega$內全純,那麼$f'(z)$也全純,從而$u,v$的

二、三、四……階偏導數都是連續的,從而混合偏導數相等,根據c-r方程易得

\[\delta u=\delta v=0\]

也就是說全純函式的實部和虛部都是調和函式.

如果以\[x=\frac(z+\overline),y=\frac(z-\overline)\]

再根據復合函式求導的法則可知

\[\frac=\frac\left(\frac-i\frac\right)\]

$$\frac}=\frac\left(\frac+i\frac\right)$$

再根據c-r方程可知$f(z)$全純等價於$\frac}=0$.這時我們可以認為全純函式$f$與$\overline$無關,僅為複數$z$的一元復值函式,而不看做實數$x,y$的二元復值函式.

另外如果我們將函式$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$以前面的替換,而看做復變數$z,\overline$的二元復值函式

\[f(z,\overline)=u(z,\overline)+iv(z,\overline)\]

我們不難得出復變函式$f$的全微分公式

\[f=\fracz+\frac}\overline\]