二項式反演的最基礎形式為：
\[f[ n ] = \sum\limits_^ ( -1 )^ \binom g[ i ]
\longleftrightarrow
g[ n ] = \sum\limits_^ ( -1 )^ \binom f[ i ]
\]這個的證明基於多步容斥。
由這個形式可以進一步推出常用的形式：
\[f[ n ] = \sum\limits_^ \binom g[ i ]
\longleftrightarrow
g[ n ] = \sum\limits_^ ( -1 )^ \binom f[ i ] \\
f[ n ] = \sum\limits_^ \binom g[ i ]
\longleftrightarrow
g[ n ] = \sum\limits_^ ( -1 )^ \binom f[ i ]
\]啊是的證明又咕了。（被打）
有容斥的地方就可能用到它。
一種很常見的是如下面兩道例題的「恰好」和「欽定」的轉化。
bzoj2839 集合計數
題意n個元素的集合有 $ 2^ $ 個子集，選出至少乙個集合使得交集大小正好為 $ k $ 的個數。 $ n \le 10^ $ 。
題解套路化地交集改欽定。
欽定的式子很簡單的是 $ g( i ) = \binom ( 2^ } - 1 ) $ ，即欽定哪 $ i $ 個必須選，從包含全部這 $ i $ 個元素的集合中選至少乙個。
答案就是 $ f( k ) =\sum\limits_^ ( -1 )^ \binom g( i ) $ 。
[jsoi2011]分特產
題意有 $ n $ 個人和 $ m $ 種物品，第 $ i $ 種物品有 $ a_i $ 個，同種物品之間沒有區別。現在要將這些物品分給這些人，使得每個人至少分到乙個物品，求方案數模 $ 10^+7 $ 。
題解正難則反，「每個人都有分到物品」轉化為「0個人沒分到物品」。
設 $ f( i ) $ 表示恰好 $ i $ 個人分不到， $ g( i ) $ 表示欽定某 $ i $ 個人分不到。
\[g( i ) = \binom \prod\limits_^ \binom - 1 } - 1 }
\]之後則有 $ f( 0 ) =\sum\limits_^ ( -1 )^ \binom g( i ) $ 。
先咕了，之後再補。
二項式反演 總結
f n sum n 1 i g i leftrightarrow g n sum n 1 i f i f n sum n g i leftrightarrow g n sum n 1 f i f n sum g i leftrightarrow g n sum n 1 f i 其實就是將其中乙個式子...
二項式反演
先從反演原理出發，假如存在兩個數列 f,g 我們知道 f n sum limits n a times g i 則 g n sum limits n b times f i 恆成立，那麼我們由 f 推出 g 的過程叫做反演。下面我們來 一下上面兩個式子恆成立的條件，將左邊帶入右邊，那麼有 begin...
二項式反演
形式與多步容斥相似,公式與多步容斥類似，多步容斥公式為 a 1 cup a 2 cup.cup a n sum limits a i sum limits n 1 ig i g n sum limits n 1 if i 顯然這兩個公式是等價，也是相互推導的關係，因此我們得到了二項式反演的形式1 形...