前幾天學了一下二項式反演的證明，咕了幾天後覺得還是發一篇部落格比較好。
二項式反演，就是這麼個式子：
\(f(n) = \sum _ ^ c_ ^ g(i) \leftrightarrow g(n) = \sum _ ^ (-1) ^ c_ ^ f(i)\)。
代數證明如下：
\[\begin
g(n)
&= \sum _ ^ (-1) ^ c_ ^ \sum _ ^ c_ ^ g(j) \\\
&= \sum _ ^ \sum _ ^ c_ ^ c_ ^ g(j)(-1) ^ \\
\end\]
其中\(c_ ^ c_ ^ = c_ ^ c _ ^ \)，這個展開成階乘形式就會發現兩側相等。
\[\begin
g(n)
&= \sum _ ^ \sum _ ^ c_ ^ c_ ^ g(j) (-1) ^ \\
&= \sum _ ^ g(j)c_ ^ \sum _ ^ c_ ^ (-1) ^
\end
\]對於\(\sum _ ^ c_ ^ (-1) ^ \)，當\(j = n\)時，該式子等於\(1\)，否則等於\(0\)。當\(j = n\)時代入得證；當\(j \neq n\)時，後面的\(\sum\)就是楊輝三角第\(n - j\)行的偶數項之和減去奇數項之和（或者反過來），根據二項式定理可知，偶數項之和等於奇數項之和，那麼得證。
於是原式\(=g(n)\)。
二項式反演還有另一種形式，也比較常見：
\(f(k) = \sum _ ^ c_ ^ g(i) \leftrightarrow g(k) = \sum _ ^ (-1) ^ c_ ^ f(i)\)
證明方法類似：
\[\begin
g(k)
&= \sum _ ^ (-1) ^ c_ ^ \sum _ ^ c_ ^ g(j) \\
&= \sum _ ^ \sum _ ^ (-1) ^ c_ ^ c_ ^ g(j) \\
&= \sum _ ^ c_ ^ g(j) \sum _ ^ (-1) ^ c_ ^
\end\]
然後後面的式子也是只有當\(j = k\)時為\(1\)，否則為\(0\)。
最後推一道例題：luogu p4859 已經沒有什麼好害怕的了
二項式反演的證明
我們都知道二項式的生成函式 f x 1 x n sum dbinomx k 當我們帶入 x 1 時，會得到這樣的式子 f 1 1 1 n sum dbinom 1 k 當 n 0 時，左邊的部分沒有意義。但右邊算出來恰好為 binom 1 因此我們得到了乙個恒等式 sum dbinom 1 n 0 ...
二項式反演
先從反演原理出發，假如存在兩個數列 f,g 我們知道 f n sum limits n a times g i 則 g n sum limits n b times f i 恆成立，那麼我們由 f 推出 g 的過程叫做反演。下面我們來 一下上面兩個式子恆成立的條件，將左邊帶入右邊，那麼有 begin...
二項式反演
形式與多步容斥相似,公式與多步容斥類似，多步容斥公式為 a 1 cup a 2 cup.cup a n sum limits a i sum limits n 1 ig i g n sum limits n 1 if i 顯然這兩個公式是等價，也是相互推導的關係，因此我們得到了二項式反演的形式1 形...