二項式反演的應用

眾所周知，二項式反演可以表示成

是乙個及其對稱的式子，常用的表示式是

網上有很多很好的證明，比如這個部落格，感覺容斥的證明比較形象，這裡就不多贅述了。

如果要求blabla恰好有k個blabla的時候，有時候會很難算，而求至多有k個blabla的時候會很好算

設 fi表示恰好的方案數， g i 表示至多的方案數，則有

根據二項式反演有

同樣有時候至少k個blabla的要更好求

設 f i 表示恰好的方案數，g i表示至少的方案數，則有

根據二項式反演有

cca的小球

轉恰好為至少即可

#include

using
namespace std;
typedef
long
long ll;
const ll mod=
1e9+7;
const
int n=
1e6+10;
int col[n]
;unordered_map<
int,
int>mp;
ll fac[n]
,mi[n]
;ll quick_pow
(ll x,ll y)
return ans;
}int
main()
ll res=0;
fac[0]
=1,mi[0]
=1;for
(int i=
1;i<=n;i++
)    ll p=
quick_pow
(mi[num]
,mod-2)
;for
(int i=
0;i<=num;i++
)printf
("%lld\n"
,res)
;system
("pause");
return0;
}

我們先看只有k個的時候的種數，計算出結果只要乘上c(m,k)就是答案了。

我們先不管恰好是k個的限制，我們想成至多為k個的時候的答案，設為f(k)

易知：f( k )= k * ( k-1 ) n-1

那麼我們在恰好是k個的時候，也就是我們要求的答案，設為f(k)，顯然這個不好求，但是我們可以找到f和f的關係：

則有

然後反演成：

就可以做了，最後別忘記乘上組合數

#include

#include
#include
#include
#include
#define ull  unsigned long long
#define ll long long
#define mod 1000000007
#define maxn 1000005
using
namespace std;
ll fac[maxn]
,inv[maxn]
;ll p
(ll a,ll b)
return ans;
}void
init()
ll c
(int n,
int m)
int n=1;
ll g
(ll x)
intmain()
for(
int i=m;i>m-k;i--
)            ans=ans*i%mod;
ans=ans*inv[k]
%mod;
printf
("case #%d: %lld\n"
,cal++
,ans);}
return0;
}

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