斜率優化dp練習

1.hdu3507

裸題，有助於理解斜率優化的精髓。

dp[i]=min(dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])2)

很顯然不是單調佇列。

根據斜率優化的的定義，就是先設兩個決策j,k

什麼時候我們認為在 i 的環境下 j 比 k 好呢？根據上面的遞推式，得到下面這麼乙個式子

dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])2

2開啟括號：

dp[j]+m+sum[i]2+sum[j]2-2*sum[i]*sum[j]2+sum[k]2-2*sum[i]*sum[k]

移項，將有 i 的項移到右側：

dp[j]+sum[j]2-dp[k]-sum[k]2

<2*sum[i]*(sum[j]-sum[k])

除下來：

(dp[j]+sum[j]2-dp[k]-sum[k]2)/[2*(sum[j]-sum[k])]好了這就是斜率了^_^

1 #include2 #include3 #include4 typedef long
long
lnt;
5int q[1000000
];6 lnt sum[1000000
];7 lnt dp[1000000];8
inth,t;
9lnt n;
10lnt m;
11 lnt x(int
x)12
15 lnt tp(int i,int
j)16
19 lnt btm(int i,int
j)20
23int
main()
2444         printf("
%lld\n
",dp[n]);45}
46return0;
47 }

2.bzoj1010: [hnoi2008]玩具裝箱toy

這道題依然斜率單調

dp方程自己推：

dp[i]=min(dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-l)2)

依然假設在 i 的環境下決策 j 優於 k

那麼：dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-l)2

2將常數項與與 i 有關的項放到一起，展開：

(sum[j]+j)2-2*(i+sum[i]-l-1)*(sum[j]+j)+dp[j]<(sum[k]+k)2-2*(i+sum[i]-l-1)*(sum[k]+k)+dp[k]

設函式 f(x)=sum[x]+x , h(x)=x+sum[x]-l-1 , g(x)=dp[x]+f(x)2

得到當：

g(j)-g(k)<2*h(i)*(f(j)-f(k)) 時，j 比 k 優秀。

f(x)單調遞增，斜率單調。

時間複雜度o(n)

**：

1 #include2 #include3 #include4 typedef long
long
lnt;
5 lnt sum[1000000
];6 lnt dp[1000000];7
int q[1000000];8
inth,t;
9int
n;10
lnt l;
11 lnt f(int
x)12
15 lnt k(int
x)16
19 lnt g(int
x)20
23lnt squ(lnt x)
2427
intmain()
2835     q[1]=0
;36     dp[0]=0
;37     h=t=1;38
for(int i=1;i<=n;i++)
3947     printf("
%lld\n
",dp[n]);
48return0;
49 }

3.bzoj1911: [apio2010]特別行動隊

斜率單調。

方程自己推：

設：g(x)=a*x2+b*x+c

dp[i]=max(dp[j]+g(sum[i]-sum[j]))

設在 i 環境下決策 j 優於 k

dp[j]+g(sum[i]-sum[j])>dp[k]+g(sum[i]-sum[k])

設f(x)=dp[x]+a*sum[x]2-b*sum[x]

則當：f(j)-f(k)>2*a*sum[i]*(sum[j]-sum[k])

設 j > k 斜率單調

時間複雜度o(n)

**：

1 #include2 #include3 #include4 typedef long
long
lnt;
5 lnt sum[1000006
];6 lnt dp[1000006];7
int q[1000006];8
inth,t;
9int
n;10
lnt a,b,c;
11 lnt f(int
x)12
15lnt g(lnt x)
1619
int main(void)20
30     q[1]=0
;31     dp[0]=0;32
for(int i=1;i<=n;i++)
3341     printf("
%lld\n
",dp[n]);
42return0;
43 }

4.bzoj4518: [sdoi2016]征途

這次變成二維的了。

都一樣，展開方程+斜率優化。

這次要對於每一天進行o(n)轉移，共m天，時間複雜度o(n*m)

**：

1 #include2 #include3 #include4 typedef long
long
lnt;
5 lnt dp[4000][4000
];6 lnt sum[10000];7
int q[1000000];8
lnt n,m;
9lnt l;
10int
h,t;
11lnt squ(lnt x)
1215 lnt f(int x,int
i)16
19int
main()
2027     l=sum[n];
28for(int i=1;i<=n;i++)
2932
for(int d=2;d<=m;d++)
3345
}46     printf("
%lld\n
",dp[n][m]+squ(l));
47return0;
48 }

斜率優化 DP

我們知道，有些dp方程可以轉化成dp i f j x i 的形式，其中f j 中儲存了只與j相關的量。這樣的dp方程我們可以用單調佇列進行優化，從而使得o n 2 的複雜度降到o n 可是並不是所有的方程都可以轉化成上面的形式，舉個例子 dp i dp j x i x j x i x j 如果把右邊...

dp斜率優化

斜率優化DP

斜率優化主要解決的是轉移方程中存在乙個同時與i和j有關的部分時的優化問題 dp i min dp j a i b j 0 include using namespace std typedef long long ll const int maxn 1e5 5 ll a maxn b maxn dp...

斜率優化dp練習

斜率優化 DP

dp斜率優化

斜率優化DP

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