斜率優化 DP

我們知道，有些dp方程可以轉化成dp[i]=f[j]+x[i]的形式，其中f[j]中儲存了只與j相關的量。這樣的dp方程我們可以用單調佇列進行優化，從而使得o(n^2)的複雜度降到o(n)。

可是並不是所有的方程都可以轉化成上面的形式，舉個例子：dp[i]=dp[j]+(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])。如果把右邊的乘法化開的話，會得到x[i]*x[j]的項。這就沒辦法使得f[j]裡只存在於j相關的量了。於是上面的單調佇列優化方法就不好使了。

這裡學習一種新的優化方法，叫做斜率優化，其實和凸包差不多，下面會解釋。

舉例子說明是最好的！hdu 3507，很適合的乙個入門題。

大概題意就是要輸出n個數字a[n]，輸出的時候可以連續連續的輸出，每連續輸出一串，它的費用是「這串數字和的平方加上乙個常數m」。

我們設dp[i]表示輸出到i的時候最少的花費，sum[i]表示從a[1]到a[i]的數字和。於是方程就是：

dp[i]=dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])^2；

很顯然這個是乙個二維的。題目的數字有500000個，不用試了，二維鐵定超時了。那我們就來試試斜率優化吧，看看是如何做到從o(n^2)複雜度降到o(n)的。

分析:我們假設k兩邊移項一下，得到：(dp[j]+num[j]^2-(dp[k]+num[k]^2))/(2*(num[j]-num[k]))那麼不就是yj-yk/xj-xk那麼yj-yk/xj-xk

關鍵的來了：現在從左到右，還是設k我們假設g[i,j]如果g[i,j]>=sum[i]，那麼j點此時是比i點要更優，但是同時g[j,k]>g[i,j]>sum[i]。這說明還有k點會比j點更優，同樣排除j點。

排除多餘的點，這便是一種優化！

接下來看看如何找最優解。

設k由於我們排除了g[i,j]

這樣，從左到右，斜率之間就是單調遞減的了。當我們的最優解取得在j點的時候，那麼k點不可能再取得比j點更優的解了，於是k點也可以排除。換句話說，j點之前的點全部不可能再比j點更優了，可以全部從解集中排除。

於是對於這題我們對於斜率優化做法可以總結如下：

1，用乙個單調佇列來維護解集。

2，假設佇列中從頭到尾已經有元素a b c。那麼當d要入隊的時候，我們維護佇列的上凸性質，即如果g[d,c]=g[x,y]為止，並將d點加入在該位置中。

3，求解時候，從隊頭開始，如果已有元素a b c，當i點要求解時，如果g[b,a]

1 #include2 #include
3using
namespace
std;45
int dp[500005];6
int q[500005];7
int sum[500005];8
inthead,tail,n,m;910
int getdp(int i,int
j)11
1415
int getup(int j,int k)  //
yj-yk的部分
1619
20int getdown(int j,int k) //
xj-xk的部分
2124
25int
main()
2647         printf("
%d\n
",dp[n]);48}
49return0;
50 }

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