斜率優化dp

眾所周知，斜率優化$dp$是很（mei）優（luan）秀（yong）的演算法。

所以，就和博主一起來學習吧。

例題一：任務安排

【題目描述】

有$n$個任務排成乙個序列在一台機器上等待執行，它們的順序不得改變。機器會把這$n$個任務分成若干批，每一批包含連續的若干個任務。從時刻$0$開始，任務被分批加工，執行第$i$個任務所需的時間是$t_$。另外，在每批任務開始前，機器需要$s$的啟動時間，故執行一批任務所需的時間是啟動時間$s$加上每個任務所需時間之和。

乙個任務執行後，將在機器中稍作等待，直至該批任務全部執行完畢。也就是說，同一批任務將在同一時刻完成。每個任務的費用是它的完成時刻乘以乙個費用係數$c_$。

請為機器規劃乙個分組方案，使得總費用最小。

【分析】通過題目描述，我們可以很輕鬆的看出這是乙個$dp$題目。

我們設$sumc[i]$表示費用的字首和，$sumt[i]$表示時間的字首和。

所以我們可以列出$dp$方程：

$$dp[i]=min(dp[i],sumt[i]*(sumc[i]-sumc[j])+s*(sumc[n]-sumc[j])+dp[j])$$

但是，這個$dp$轉移是$n^2$的，在$3\times10^5$次方的資料範圍下會t到天上。

於是，我們考慮將$dp$方程化簡：

$$dp[i]=dp[j]-(s+sumt[i])*sumc[j]+sumt[i]*sumc[i]+s*sumc[n]$$

看到這個式子，依然沒有什麼頭緒，所以我們可以找到兩個決策點k,j,假設k優於j,則

$$dp[j]-(s+sumt[i])*sumc[j]+sumt[i]*sumc[i]+s*sumc[n]\geq dp[k]-(s+sumt[i])*sumc[k]+sumt[i]*sumc[i]+s*sumc[n]$$

繼續整理式子

$$dp[j]-(s+sumt[i])*sumc[j]\geq dp[k]-(s+sumt[i])*sumc[k]$$

$$dp[j]-dp[k] \geq s*sumc[j]-sumt[i]*sumc[j]-s*sumc[k]+sumt[i]*sumc[k]$$

$$dp[j]-dp[k] \geq (s+sumt[i])*(sumc[j]-sumc[k])$$

$$\frac \geq (s+sumt[i])$$

可以發現，左邊的式子是形如$\frac-y_}-x_}$的式子，而右邊的式子是乙個常量。

我們可以想到斜率!構建乙個平面直角座標系，以$sumc[i]$為橫座標，以$dp[i]$為縱座標：

根據剛剛推出的$dp$,決策點k所在的直線的斜率只有大於它之前所有的點，小於它之後所有點的斜率，它才能被選中成為乙個最優解。因為若k點最優，則應滿足k點所在直線的截距是所有點中最小的。所以，這個k點應處於乙個「下凸殼」的頂點處。因為在所有可能成為最優決策的點集中，點的編號與直線斜率都是遞增的。根據這個性質，我們可以用單調佇列來維護可能成為最優決策的點集。當單調佇列頭的兩個點組成直線的斜率比當前直線的斜率$\leq s+sumt[i]$小的時候，就將其彈出。當單調佇列尾的兩個點與當前點組成的不是「下凸殼」時，就將其彈出。

總結一下：當$dp$方程有a[i]*b[j]的項時：

①設決策點k優於j，化簡方程，看是否能化簡成不等式左邊為形如$\frac-y_}-x_}$，右邊為乙個常數的形式，若不能，則採用暴力；

②看這道題是維護上凸殼還是下凸殼。

下面給出任務安排的**：

#include#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
int sumt[300001],sumc[300001
];int dp[300001],q[300001
];int x(int i)
int y(int i)
int slope(int i,int j)
intmain()
int l=1,r=1
;    memset(dp,
0x3f,sizeof
(dp));
dp[0]=0
;    
for(i=1;i<=n;i++)
cout
<
}

view code

既然學會了方法，那麼接下來的事情就是刷題了。

【例題1】任務安排公升級版 link

這題和上題一模一樣，但是$sumc[i]$有可能是負的。所以下凸殼的性質就不能用了，我們就不能使用上一問的單調佇列，所以需要二分遍歷整個點集。

【例題2】cats transport link

這題思維難度較大，但是$dp$方程很簡短。我們將飼養員正好接到貓的時間預處理，然後將其從小到大排序。我們設$dp[i][j]$表示前$i$個飼養員接前$j$只貓的時間。因為乙個人接到第j只貓時，可以接到前面所有貓。所以我們列舉斷點，可以列出$dp$方程：$dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][x]+(j-x)*a[j]-sum[j])$，其中$a_$表示正好接到第$i$只貓的出發時間，$sum[i]$表示$a[i]$的字首和。

【例題3】玩具裝箱 link

這題思維難度很小，但是式子的化簡十分複雜。我們把$j-i$設為a，$sum[k]-sum[i]$設為$suma$，$sum[j]-sum[i]$設為$sumb$，採用換元的思想降低化簡難度。最終化簡出$x=sum[i]+i+l+1$,$y=dp[i]+(sum[i]+i+l+1)^2$。

【例題四】倉庫選址 link

很普通的一道斜率優化，dp方程留給大家自己推吧。

大家還可以試試2023年的江蘇省選火星藏寶圖，很好的思維題目。

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dp斜率優化

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