最近做一道斐波那契的題，需要用到矩陣快速冪，於是就看了看快速冪然後整理了一下。快速冪顧名思義，就是快速算某個數的多少次冪。其時間複雜度為 o(log₂n)， 與樸素的o(n)相比效率有了極大的提高。
以求a的n次方為例子。
原理：
把n轉換成2進製數
該2進製數第i位的權為（2i
−1）例如 a11
=a23
+21+
20因為，1的二進位制是1 0 1 1，也就是11=2
3∗1+
22∗0
+21∗
1+20
∗1快速冪可以用位運算這個強大的工具實現。
n & 1，就是取n的二進位制的最末尾，事實上， 就是相當於n % 2。
n = n >> 1 就是右移一位，就是n = n / 2.
重要的兩句就是這樣了。
其實，思路就是，本來是a乘a一直乘n次，現在就變成了a = a * a，然後n = n / 2.an=
(a∗a
)n/2
，然後重複下去，本來要進行n次的運算，現在就變成了log
2n次了。這就是快速冪啦。
下面是計算an%
k的乙個模板。
int quickpow(int a,int n,int k)
return b;
}
3)。 如果求一次矩陣的m次冪，按樸素的寫法就是o(n
3∗m)
。 既然是求冪，不免想到快速冪取模的演算法，在快速冪中，ab%
m 的複雜度可以降到o(logb)。
如果矩陣相乘是不是也可以實現o(n
3∗lo
gm)的時間複雜度呢？答案是肯定的。
思想 矩陣快速冪的思想就是跟數的快速冪一樣，假如我們要求2的11次方，我們可以把 11 寫成 1+2+8 ，也就是20+
21+2
3。那麼把乙個o（n）的時間複雜度降到了log（n）
。 比如說，我們要求乙個矩陣a的11次方，那就變成a11=
a（20
+21+
23) 。
參照上面的寫法：
while(n)
//mat a是矩陣，k是指數
int matrix(mat a, int k)
return tem;
}
從個公式，我們可以知道，就算fn,可以用a的n次方來計算。
其中a=[1
110]
(3)
#include
#include
#include
using namespace std;
const
long
long mod = pow(10,9) + 7;
struct matrix
ans, base;
//定義矩陣乘法
matrix multi(matrix a, matrix b)
}return tmp;
}int fast_mod(int n) // 求矩陣 base 的 n 次冪
base = multi(base, base);
n >>= 1;
}return ans.m[0][1];
}int main()
return
0;}
快速冪（矩陣快速冪）
求 3 0 3 1 3 n mod 1000000007 input 輸入乙個數n 0 n 10 9 output 輸出 計算結果 sample input 3sample output 40 分析 利用等比數列的求和公式得所求和是 3 n 1 1 2，如果暴力求3 n 1 會超時，這裡引入快速冪來...
快速冪 矩陣快速冪
快速冪 正常情況下求乙個數的冪時間複雜度為o n 而快速冪能把時間複雜度降到o logn 舉個例子 求5的13次方 思想首先把13化為二進位制 1101，即13 1101 8 1 4 1 2 0 1 1 即5 13 58 1 54 1 52 0 5 1 15 5 8 1 5 4 1 5 2 0 5 ...
快速冪 矩陣快速冪
快速冪 我們求a ba b ab最直接的方法就是把a乘b次這樣的話複雜度就是o n o n o n 但是在比賽時面對1e9的資料時還是會輕鬆超時的，此時就需要一種更快的乘法來幫助我們 我們把b拆成二進位制的形式得到a ba b ab a 10.01 a a1 0.01此時對b分解得到的序列10.01...