眾所周知，dijkstra演算法是跑單源最短路的一種優秀演算法，不過他的缺點在於難以處理負權邊。
但是由於在今年的noi賽場上spfa那啥了（嗯就是那啥了），所以我們還是好好研究一下dij的原理和它的優化吧。
（前面那篇寫的太簡陋了）
1.dijkstra演算法的原理
首先，我們先假設整個圖已經被建完而且所有邊權全部為正。使用dis[i]表示從原點s到i點的最短距離。之後我們從選取的原點s開始，進行到匯點t的最短路搜尋。s一開始就會連向幾個頂點，它所能到達的頂點的距離我們更新一
下，而不能到達的頂點的距離就先設為inf。之後，我們在這個點所能到達的所有點之中，找出乙個dis最小的點，那麼此時，到這個點的最短路徑就已經被確定了。
這是為什麼呢？因為圖中所有邊權全部為正，而當前點（u）的dis已經是最小的了，從其他點（v）再到這個點，所經過的距離必然大於dis[u]，也就是肯定不是到達u點的最短路。
因此這樣我們就可以不斷地確定一些點，之後再從確定的點集出發，去確定更多的點，這樣就可以找到到匯點t的最短路徑長度了。
（我偷了別人的圖和文章來演示如何求從頂點v1到其他各個頂點的最短路徑）
首先第一步，我們先宣告乙個dis陣列，該陣列初始化的值為：
我們的頂點集t的初始化為：t=
既然是求 v1頂點到其餘各個頂點的最短路程，那就先找乙個離 1 號頂點最近的頂點。通過陣列 dis 可知當前離v1頂點最近是 v3頂點。當選擇了 2 號頂點後，dis[2]（下標從0開始）的值就已經從「估計值」變為了「確定值」，即 v1頂點到 v3頂點的最短路程就是當前 dis[2]值。將v3加入到t中。
為什麼呢？因為目前離 v1頂點最近的是 v3頂點，並且這個圖所有的邊都是正數，那麼肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得 v1頂點到 v3頂點的路程進一步縮短了。因為 v1頂點到其它頂點的路程肯定沒有 v1到 v3頂點短.
ok，既然確定了乙個頂點的最短路徑，下面我們就要根據這個新入的頂點v3會有出度，發現以v3 為弧尾的有： < v3,v4 >,那麼我們看看路徑：v1–v3–v4的長度是否比v1–v4短，其實這個已經是很明顯的了，因為dis[3]代表的就是v1–v4的長度為無窮大，而v1–v3–v4的長度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結果：
因此 dis[3]要更新為 60。這個過程有個專業術語叫做「鬆弛」。即 v1頂點到 v4頂點的路程即 dis[3]，通過 < v3,v4> 這條邊鬆弛成功。這便是 dijkstra 演算法的主要思想：通過「邊」來鬆弛v1頂點到其餘各個頂點的路程。
然後，我們又從除dis[2]和dis[0]外的其他值中尋找最小值，發現dis[4]的值最小，通過之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然後，我們把v5加入到集合t中，然後，考慮v5的出度是否會影響我們的陣列dis的值，v5有兩條出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然後我們發現：v1–v5–v4的長度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長度為：90，而dis[5]為100，所以我們需要更新dis[5]的值。更新後的dis陣列如下圖：
然後，繼續從dis中選擇未確定的頂點的值中選擇乙個最小的值，發現dis[3]的值是最小的，所以把v4加入到集合t中，此時集合t=,然後，考慮v4的出度是否會影響我們的陣列dis的值，v4有一條出度：< v4,v6>,然後我們發現：v1–v5–v4–v6的長度為：60，而dis[5]的值為90，所以我們要更新dis[5]的值，更新後的dis陣列如下圖：
然後，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最後dis的陣列的值如下：
那麼原理我們就說完了。
2.dijkstra堆優化
dijkstra的功能雖然強大，不過其時間複雜度比較大，對於n個點，每次最壞要列舉n次，時間複雜度是o（n^2）的。
這個複雜度有點大，我們考慮如何來優化呢？
首先，dijkstra是基於貪心的，他每次都是找當前dis值最小的那乙個點來繼續更新。這樣的話，每次的列舉就顯得無用，我們直接維護當前最小值就可以了！所以優化就是使用set（小根堆）維護最小值，之後每次在貪心的時候取堆首元素，再更新堆首元素所能走到的點。每次更新的時候，把原來點儲存的資訊從set裡面刪掉，再壓乙個新的進去就可以了。時間複雜度被優化為o（nlogn）。
**看下面的例題吧。
3.最短路計數
洛谷上的這道題比較簡單，因為是無權圖（其實有權也一樣）。
非常easy的操作，正常跑一遍dijkstra的堆優化，在每次鬆弛操作的時候，如果dis[u] > dis[v] + 1,那麼到達u的最短路個數應該和到達v是一樣的。如果dis[u] = dis[v] + 1,那麼到達v的最短路個數應該加上到達u的最短路個數。
因為所有邊的邊權都是1，所以如果dis[u] = dis[v]+1，那麼肯定從u經過的最短路，在v上經過的時候也是最短路。
這樣就可以做了，注意取個模。
#include#include#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
using
namespace
std;
typedef
long
long
ll;const
int m = 1000005
;const
int mod = 100003
;int
read()
while(ch >= '
0' && ch <= '9'
)
return ans *op;
}#define pr pair#define mp make_pair
setq;
set:: iterator it;
intn,m,ecnt,head[m],x,y,dis[m],num[m];
bool
vis[m];
struct
node
e[m<<1
];void add(int x,int
y)void dij(int
s)
else
if(dis[e[i].to] == dis[k.second] + 1
) }}
}int
main()
如何理解Dijkstra演算法（最短路徑）
假設 n v,是連通網，v是頂點集合，共有n個頂點 對 最短路徑 的兩個理解 case 1，頂點v0到其它所有頂點的最短路徑。case 2，頂點v0到頂點vi的最短路徑。對於dijkstra演算法來說，一次性求出v0到其它所有頂點的最短路徑的時間複雜度是o n 2 dijkstra演算法採用貪心思想...
Dijkstra 最短路徑
dijkstra 最短路徑 針對有向圖，不支援負權值 圖的相鄰矩陣表示方法,還要用到最小值堆 include include define unvisited 0 define visited 1 define infinite 9999 設定最大值 define n 5 定義圖的頂點數 using...
dijkstra最短路徑
hehe和xixi在乙個地方玩遊戲,xixi把n 1件禮物 hehe以前送給xixi的 分別藏在了另外n 1個地方，這些地方都能互相到達,且所有的邊都是有方向的。現在hehe要做的事就是去那些地方找回那n 1件禮物給xixi 由於每一件禮物都有特殊的意義，所以xixi要求hehe每找到一件禮物，就必...