素數的篩法有很多種
在此給出常見的三種方法
以下給出的所有**均已通過這裡的測試
名字好長 :joy:不過**很短
思路非常簡單，對於每乙個素數，列舉它的倍數，它的倍數一定不是素數
這樣一定可以保證每個素數都會被篩出來
還有，我們第一層迴圈列舉到$\sqrt(n)$就好，因為如果當前列舉的數大於n，那麼它能篩出來的數一定在之前就被列舉過
比如說：
$\sqrt(100)=10$
不難發現我們從$20$列舉所篩去的數一定被$5$篩過
1 #include2 #include3但是你會發現這份**只能得30分using
namespace
std;
4const
int maxn=10000001
;5 inline int
read()69
while(c>='
0'&&c<='
9') x=x*10+c-48,c=getchar();return x*f;10}
11int
vis[maxn];
12int
n,m;
13int
main()
1426
return0;
27 }
看來這種演算法還是不夠優秀
下面我們來探索一下他的優化
另外，這種演算法的時間複雜度：$o(n*logn)$
根據唯一分解定理
每乙個數都可以被分解成素數乘積的形式
那我們列舉的時候，只有在當前數是素數的情況下，才繼續列舉就好
這樣可以保證每個素數都會被篩出來
果然，加了優化之後這種演算法快了不少
可以證明，它的複雜度為：$o(n*log^)$
這種演算法已經非常優秀了，但是對於1e7這種極端資料，還是有被卡的風險
那麼，還有沒有更快的篩法呢？
答案是肯定的！
我們思考一下第二種篩法的運算過程
不難發現，對於6這個數，它被2篩了一次，又被3篩了一次
第二次篩顯然是多餘的，
我們考慮去掉這步運算
1 #include2 #include3對於這份**，我們分情況討論using
namespace
std;
4const
int maxn=10000001
;5 inline int
read()69
while(c>='
0'&&c<='
9') x=x*10+c-48,c=getchar();return x*f;10}
11int
vis[maxn],prime[maxn];
12int tot=0;13
intn,m;
14int
euler()
1525}26
}27intmain()
2837
return0;
38 }
當$i$是素數的時候，那麼兩個素數的乘積一定沒有被篩過，可以避免重複篩
當$i$不是素數的時候
程式中有一句非常關鍵的話
if(i%prime[j]==0) break;如果我們把$i$的唯一分解形式表示為$i = p_1^p_2^ \dots p_n^$
這句話可以保證：本次迴圈只能篩除不大於$*i$的數
這樣的話每個數$i$都只能篩除不大於$i$乘$i$的最小素因子的數
反過來，每個數只能被它的最小素因子篩去。
也就可以保證每個數隻會被篩一次(這一步好像不是很顯然，我在最後會給出證明)
舉個例子，
設$i=2*3*5$，此時能篩去$i*2$，但是不能篩去$3*i$
因為如果能曬出$3*i$的話，
當$i_2=3*3*5$時，篩除$2*i_2$就和前面重複了
另外為了方便大家直觀理解，給出一張圖表
這樣顯得直觀一些
上面的證明：我自己瞎yy的可能不是很嚴謹
現在我們需要證明$i = p_1^p_2^ \dots p_n^$只會被$p_1$篩去
那麼我們需要證明三個條件
1.$i$一定被$p_1$和$p_1^p_2^ \dots p_n^$篩除過
很顯然，在列舉到$p_1$之前不會有其他素因子使$p_1^p_2^ \dots p_n^$停止迴圈
2.$i$不會被$p_1^p_2^ \dots p_n^$篩去
同樣也很顯然，當列舉到$p_1$時就會停止迴圈
可以看出這種演算法的時間效率是非常高的！
時間複雜度：嚴格$o(n)$
在一般情況下，第二種篩法已經完全夠用。
第三種篩法的優勢不僅僅在於速度快，而且還能夠篩積性函式，像尤拉函式，莫比烏斯函式等。
這個我以後還會講的
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