篩法求素數線性篩法求素數

2023年更新版：

篩法求素數&線性篩法求素數

要理解篩法求素數首先要知道乙個定理，

整數唯一分解定理：任意大於等於2的正整數都有且只有一種方式寫出其質因子的乘積表示式。

a ＝p1p2p3p4…pn(pi是素數且pi

<=pj)

eg:2=2

4=22

12=223

36=2233

也就是說任意乙個合數都能分成乙個素數和另乙個數（另乙個數可以是素數也可以是合數）的乘積

eg:4=22

12=26

15=3*5

即任意乙個合數都有乙個比它本身小的素因子。

這樣的話，如果要求1－n的所有素數，只要把1－n內所有素數的倍數刪掉，剩下的就都是素數了。

先看**：

普通篩法求素數：

#include#include#includeusing namespace std;
#define ll long long
#define n 100
bool isprime[n];／／1
int pri[n];／／2
void prime()}}
return;
}

上邊**裡：

isprime陣列的作用是，判斷乙個數是否是素數，我們可以規定

if(isprime[i]==0)代表i是素數

else 代表i是合數

一開始把isprime陣列的值全部置0，假設1－n內所有數都是素數，然後把ispime［1］特判掉

2.pri陣列用來儲存已經確定的素數

3.乙個迴圈從2開始到sqrt（n）結束，迴圈內如果發現isprime［i］＝＝0，那麼把i存到pri陣列內（即上面的4那一行），接著再來乙個迴圈把i這個素數的倍數全部刪掉（上面的5），這個迴圈從i＊i開始，每次加i，到n結束，這樣就可以把i＊i，i＊(i+1)，i＊(i+2)…i＊(i+k)，把n以內i的倍數全部刪掉。

接著說1 .為什麼到sqrt(n)就可以結束了：

假設乙個小於n的合數 x=ab ,設 a<=b;

那麼a必定小於sqrt(n)，也就是說這個合數必定有乙個小於 sqrt(n)的素因子，那麼這個數一定能在2－sqrt（n）內被某個數刪掉

2.為什麼從i ＊i開始而不是從2＊i開始

假設乙個合數x=ij （j < i ）

那麼這個數在遍歷 j 時就已經被刪掉了

然後看線性篩法

仔細分析上面的篩法其實是會造成重複篩合數，比如 12 在遍歷2的時候篩到2＊6 篩掉一次，在遍歷3的時候篩到3＊4 又篩了一次

快速篩法就解決了這個問題

先看**：

#include#include#includeusing namespace std;

#define ll long long

#define n 100

bool isprime[n];

int pri[n];

void prime2()

for(int j=1;j上邊**：

1。不管i是素數還是合數，都會執行到「1「這個地方。

這個迴圈的作用是

如果i是素數，會篩掉所有的i＊k（其中k是所有小於等於i的素數）

看**j從1開始，到cnt-1結束，每次把i＊pri［j］標記為合數，即是說把從pri［1］＝2到pri[cnt-1]，與i的乘積篩掉

eg：i＝5 時，j從1開始，此時cnt等於3 ，即j到3結束，會把5＊2，5＊3，篩掉

如果i是合數，會篩掉所有的i＊k（其中k是所有小於等於i的最小素因子的素數）

看**j從1開始，到cnt-1結束，每次把i＊pri［j］標記為合數，然後「／／2「這一行的作用就是在pri［j］等於i的最小素因子時跳出迴圈。因為pri［j］是從小到大列舉的，所以遇見的第乙個i％pri［j］＝＝0就是i的最小素因子

現在證明這個篩法

不會造成重複篩

對於任意乙個 x ＝p1p2p3p4…pn(pi是素數且pi

<=pj)

這個x能且只能被y＝p2p3p4…pn(pi是素數且pi

<=pj)篩掉。

eg：42＝2＊3＊7，42只能被3＊7＝21篩掉。

可以把所有合數都篩掉

對於任意乙個 x ＝p1p2p3p4…pn(pi是素數且pi

<=pj)

這個數一定能被y＝p2p3p4…pn(pi是素數且pi

<=pj)篩掉。

所以一定可以把所有合數都篩掉

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