bzoj3992 SDOI2015 序列統計

小c有乙個集合s，裡面的元素都是小於m的非負整數。他用程式編寫了乙個數列生成器，可以生成乙個長度為n的數列，數列中的每個數都屬於集合s。

小c用這個生成器生成了許多這樣的數列。但是小c有乙個問題需要你的幫助：給定整數x，求所有可以生成出的，且滿足數列中所有數的乘積mod m的值等於x的不同的數列的有多少個。小c認為，兩個數列和不同，當且僅當至少存在乙個整數i，滿足ai≠bi。另外，小c認為這個問題的答案可能很大，因此他只需要你幫助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

一行，四個整數，n、m、x、|s|，其中|s|為集合s中元素個數。第二行，|s|個整數，表示集合s中的所有元素。

一行，乙個整數，表示你求出的種類數mod 1004535809的值。

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【樣例說明】

可以生成的滿足要求的不同的數列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。

【資料規模和約定】

對於10%的資料，1<=n<=1000；

對於30%的資料，3<=m<=100；

對於60%的資料，3<=m<=800；

對於全部的資料，1<=n<=109，3<=m<=8000，m為質數，1<=x<=m-1，輸入資料保證集合s中元素不重複

正解：$dp$+$ntt$。

首先考慮暴力$dp$，$f[i][j]$表示統計到第$i$位，乘積為$j$的方案數，然後很顯然，$f[i][(k*p)\mod m]=f[i-1][k]*sum[p]$，其中$sum[p]$為p這個數出現的次數。

但是這樣是肯定會$t$飛的，所以我們考慮優化。話說這個優化還是蠻玄學的。。

我們可以把乘法變成加法，然後兩個數相乘就是它們的對數相加，當然底數要相同，並且對數肯定要是整數。

因為$m$是質數，所以$m$必定有原根。我們又知道，原根的$[1,m-1]$次方對應了$[1,m-1]$這些數，所以我們可以求出$[1,m-1]$的離散對數，也就是使得原根$g^=i$的$x$（然而我沒學過所以不會。。）

設$ind[i]$為$i$在模$m$意義下的離散對數，於是$f[i][(ind[k]+ind[p])\mod (m-1)]=f[i-1][ind[k]]*sum[ind[p]]$（注意這裡第二維的取值範圍是$m-1$，所以還要加乙個特判）

因為答案對$1004535809$取模，所以顯然這個方程可以用$ntt$優化，但是$n$的範圍很大，有$10^$級別，不過我們在卷積外面套乙個快速冪就行了。

我們先用快速冪算出$sum$的$n$次方，然後再用$f[0]*sum$，最後輸出$f[n][ind[x]]$，就是我們所要的答案。

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2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6 #include 7 #include 8 #include 9 #include 10 #include 11 #include 12 #include 13 #include 
14#define rhl (1004535809)
15#define inf (1<<30)
16#define nn (100010)
17#define g (3)
18#define il inline
19#define rg register
20#define ll long long
21#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
2223
using
namespace
std;
2425
intrev[nn],ind[nn],n,n,m,x,s,lg,gg;
26ll ans[nn],a[nn],b[nn],sum[nn];
2728 il int
gi()
3536
il ll qpow(rg ll a,rg ll b)
42return
ans;43}
4445 il void ntt(ll *a,rg int n,rg int
f)55}56
}57if (f==1) return; reverse(a+1,a+n); rg ll inv=qpow(n,rhl-2
);58
for (rg int i=0;irhl;
59for (rg int i=m;i1) ? i%(m-1) : m-1]+=a[i])%=rhl,a[i]=0; return;60
}6162 il void nttpow(ll *a,rg int
b)71
for (rg int i=0;irhl;
72     ntt(a,n,-1); b>>=1;73
}74for (rg int i=0;ireturn;75
}7677 il int isroot(rg int
x)83
return1;
84}8586 il void
pre()
88     rg int l=1; for (rg int i=1;ireturn;89
}9091 il void
work()
100101
intmain()

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