給定 \(n,k\)，求
\[\begin 0 \\k \end,\begin 1 \\k \end,\cdots,\begin n \\k \end
\]即一列的第二類斯特林數，答案對 \(167772161\) 取模。
限制：\(1\le n,k< 2^\)。
考慮第二類斯特林數的遞推式：
\[\begin n \\k \end=\begin n-1 \\k-1 \end+k\begin n-1 \\k \end\]設
\[f_k(z)=\sum_\begin n \\k \endz^n\]有
\[\begin
f_k(z)&=\sum_\begin n \\k \endz^k\\
&=\sum_\begin n-1 \\k-1 \endz^n+k\sum_\begin n-1 \\k \endz^n\\
&=zf_(z)+kzf_k(z)
\end
\]解得 \(f_k(z)=\dfracf_(z)\)。由於 \(f_0(z)=1\)，所以
\[f_k(z)=\dfrac=\dfrac^k(1-zj)}
\]只需用分治乘法算出分母求逆再平移即可，時間複雜度：\(\mathcal(\mathsf(n)\log n)\)，其中 \(\mathsf(n)\) 是多項式乘法的複雜度。
模板 第二類斯特林數 列
從通項公式入手好像不行了。法一 直接從定義入手 把n個球劃分成m個等價類 假設等價類兩兩不同，最後除以m！直接上egf，a 1 i x i a m的i次項係數，再乘上i！再除以m！法二 從遞推公式入手 s n,m s n 1,m 1 m s n 1,m 設ogf s m x 是第m列二斯的ogf，則...
第二類斯特林數總結
標籤 第二類斯特林數 最近做題的時候遇到了一些跟第二類斯特林數有關的東西，發現網上的資料不是很多，於是寫一篇部落格來總結一下。第二類斯特林數 s n,m 表示的是把n個不同的小球放在m個相同的盒子裡方案數。upd 為了看得清楚，有時候我們也用 begin n m end 來表示 s n,m 一般有兩...
第二類斯特林數模板
第二類斯特林數s n m s n,m 表示的是把 n 個不同的小球放在 m 個相同的盒子裡方案數。遞推式子如下 初始化 s 0 0 1s n,m s n 1,m 1 ms n 1,m s n m s n 1,m 1 ms n 1,m const ll mod 1e9 7 ll s maxn maxn...