無源匯可行流
建模方法：
首先建立乙個源s
s'>ss
ss和乙個匯t
t'>tt
tt，一般稱為附加源和附加匯。
對於圖中的每條弧v>
'>
，假設它容量上界為c
'>c
c，下界b
'>b
b，那麼把這條邊拆為三條只有上界的弧。
一條為,v
>
'>
，容量為b
'>b
b；一條為tt
>
'>
，容量為b
'>b
b；一條為v>
'>
，容量為c−b
'>c−b
c−b。
其中前兩條弧一般稱為附加弧。
然後對這張圖跑最大流，以s
s'>ss
ss為源，以t
t'>tt
tt為匯，如果所有的附加弧都滿流，則原圖有可行流。
這時，每條非附加弧的流量加上它的容量下界，就是原圖中這條弧應該有的流量。
理解方法：
對於原圖中的每條弧，我們把c−b
'>c−b
c−b稱為它的自由流量，意思就是只要它流滿了下界，這些流多少都沒問題。
既然如此，對於每條弧v>
'>
，我們強制給v
'>v
v提供b
'>b
b單位的流量，並且強制從u
'>u
u那裡拿走b
'>b
b單位的流量，這一步對應著兩條附加弧。
如果這一系列強制操作能完成的話，也就是有一組可行流了。
注意：這張圖的最大流只是對應著原圖的一組可行流，而不是原圖的最大或最小流。
有源匯可行流
建模方法：
建立弧s>
'>
，容量下界為0
'>0
0，上界為∞
'>∞
∞。然後對這個新圖（實際上只是比原圖多了一條邊）按照無源匯可行流的方法建模，如果所有附加弧滿流，則存在可行流。
求原圖中每條邊對應的實際流量的方法，同無源匯可行流，只是忽略掉弧s>
'>
就好。而且這時候弧s>
'>
的流量就是原圖的總流量。
理解方法：
有源匯相比無源匯的不同就在於，源和匯是不滿足流量平衡的，那麼連線s>
'>
之後，源和匯也滿足了流量平衡，就可以直接按照無源匯的方式建模。
注意：這張圖的最大流只是對應著原圖的一組可行流，而不是原圖的最大或最小流。
有源匯最大流
建模方法：
首先按照有源匯可行流的方法建模，如果不存在可行流，更別提什麼最大流了。
如果存在可行流，那麼在執行過有源匯可行流的圖上（就是已經存在流量的那張圖，流量不要清零），跑一遍從s
'>s
s到t'>t
t的最大流（這裡的s
'>s
s和t'>t
t是原圖的源和匯，不是附加源和附加匯），就是原圖的最大流。
理解方法：
為什麼要在那個已經有了流量的圖上跑最大流？因為那張圖保證了每條弧的容量下界，在這張圖上跑最大流，實際上就是在容量下界全部滿足的前提下盡量多得獲得「自由流量」。
注意，在這張已經存在流量的圖上，弧s>
'>
也是存在流量的，千萬不要忽略這條弧。因為它的相反弧t>
'>
的流量為s>
'>
的流量的相反數，且t>
'>
的容量為0，所以這部分的流量也是會被算上的。
有源匯最小流
有源匯最小流的常見建模方法比較多，我就只說我常用的一種。
建模方法：
首先按照有源匯可行流的方法建模，但是不要建立s>
'>
這條弧。
然後在這個圖上，跑從附加源s
s'>ss
ss到附加匯t
t'>tt
tt的最大流。
這時候再新增弧s>
'>
，下界為0
'>0
0，上界為∞
'>∞
∞。在現在的這張圖上，從s
s'>ss
ss到t
t'>tt
tt的最大流，就是原圖的最小流。
理解方法：
我們前面提到過，有源匯可行流的流量只是對應一組可行流，並不是最大或者最小流。
並且在跑完有源匯可行流之後，弧s>
'>
的流量就是原圖的流量。
從這個角度入手，我們想讓弧s>
'>
的流量盡量小，就要盡量多的消耗掉那些「本來不需要經過s>
'>
」的流量。
於是我們在新增s>
'>
之前，跑一遍從s
s'>ss
ss到t
t'>tt
tt的最大流，就能盡量多的消耗那些流量啦qwq。
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