給定平面上的\(n\)個點，求乙個\(n - 1\)階多項式經過這些點……
我以前應該是只會\(o(n^3)\)的高斯消元的……就是直接把方程列出來直接解的那種……
考慮拉格朗日插值法：
$$f=\sum_y_i\prod_\frac$$
顯然如果直接計算右邊的式子可以得到乙個\(o(n^3)\)的做法，這不夠優越……
注意到\(\prod_(x-x_j)\)的形式非常美妙，考慮分治：
若令：$$p_i=\frac(x_i-x_j)} $$
$$g(l, r) = \prod_(x-x_j)$$
$$h(l, r)=\sum_p_i \prod_(x-x_j)$$
那麼就有\(f=h(1, n)\)。
顯然有轉移$$g(l, r) = g(l, m) g(m + 1, r)$$ $$h(l, r) = h(l, m)g(m + 1, r) +g(l, m) h(m + 1, r)$$，其中\(m = \frac\)。
直接算所有\(p_i\)的複雜度為\(o(n ^ 2)\)。
暴力乘法的話分治部分的複雜度為\(t(n) = 2t(\frac) + o(n ^ 2)\)，可得\(t(n) = o(n ^ 2)\)。
因此整個東西的複雜度是\(o(n ^ 2)\)的。
注意到\(p_i\)也是可以用乙個類似的分治快速計算的，使用多點求值可以在\(o(n log^3n)\)的時間內求出。
後面的分治部分可以使用fft優化以在\(o(n log^2n)\)的時間內得到。
因此整個東西的複雜度是\(o(n log^3n)\)的，演算法的瓶頸在多點求值上……
後面那個東西似乎沒有什麼卵用，雖然沒有實現過但是總覺得常數非常大……
前面那個東西可以用來算冪級數的通項～
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