因為我們知道乘法有的時候會溢位，即使是 $ long~long $ 也可能在乘法時因為結果過大溢位（當模數也是 $ long~long $ ）。所以我們需要尋找一種能高效完成乘法操作並且不會爆 $ long~long $ 的演算法，也就是快速乘。本文也將對幾種常用快速乘及其優化技巧做個總結。
我們知道乘法其實就是把很多個加法運算合到一起。現在我們的乘法會爆範圍，那我們就把它轉化為加法。但是我們不可能乙個乙個的加，這樣複雜度會是 $ o(n) $ 級別。所以我們模仿2進製加法操作來完成。
inline ll ksc(ll x,ll y,ll p)return res;
}// ll 表示 long long
__int128是c++自帶的乙個資料型別，顧名思義，它可以裝下 $ 2^ $ 級別的大資料，而且可以直接進行各種加減乘除之類的操作（複雜度很接近 $ o(1) $ ），不過它需要手寫輸出（但其實我們只需要在運算時用一下就可以了，就像下面這樣：）
long long ans=((__int128)x*y)%p這個東西最初我感覺很不靠譜，但它就是能算出來正確答案。它就是用 $ long~double $ 來進行優化取模運算。讓我們先看一**實現吧：
inline ll ksc(ll x,ll y,ll p)
// ll 表示 long long
// ld 表示 long double
// ull 表示 unsigned long long
// 一種自動溢位的資料型別（存滿了就會自動變為0）
但是它就是可以算出正確答案來。因為它其實很巧妙的運用了自動溢位這個操作，我們的**中的z就表示 $ \lfloor\rfloor $ ，所以我們要求的就變成了 $ x\times y-\lfloor\rfloor \times p $ ，雖然這兩個部分都是會溢位的，但（unsigned）保證了它們溢位後的差值基本不變，所以即使它會溢位也不會影響最終結果的！
我們知道快速乘的原理其實就是乘法轉加法（上面這種不算），但是這是可以根據題目性質靈活轉變的，我們如何轉成加法決定了我們的複雜度，就像如果模數並沒有超過int範圍很多，那我們適當的運用乘法分配律可以讓複雜度非常接近 $ o(1) $ ：
inline ll ksc(ll x, ll y, ll p)$ miller~rabin $ 判大質數
$ pollard~rho $ 大數因子尋找
$ bsgs $ 大步小步演算法
快速乘總結
因為我們知道乘法有的時候會溢位，即使是 long long 也可能在乘法時因為結果過大溢位 當模數也是 long long 所以我們需要尋找一種能高效完成乘法操作並且不會爆 long long 的演算法，也就是快速乘。本文也將對幾種常用快速乘及其優化技巧做個總結。我們知道乘法其實就是把很多個加法運算...
快速乘學習總結
當兩個相乘數x y較小時，我們可以直接x y p。但當兩個數都為long long型別呢？很明顯直接相乘會爆範圍 其實乘法可以轉換成加法，我們可以邊加變取餘 但不是直接 y 個 x 乙個乙個相加，因為這樣絕對會超時。我們可以將 y 進行進製轉換 實現 ll q mod ll x,ll y,ll p ...
快速乘與快速冪總結
快速乘 a b p while b 把b看成二進位制 a a 2 p 2 式 要採用遞推 取模的方法得到 b b 1 右移一位 printf lld ans 推導過程 a 2 k1 a 2 k2 a 2 k3 a 2 kn p a 2 k1 a 2 k2 a 2 k3 a 2 kn 1 p a 2 ...