快速乘總結

因為我們知道乘法有的時候會溢位，即使是 $long\ long$ 也可能在乘法時因為結果過大溢位（當模數也是 $long\ long$ ）。所以我們需要尋找一種能高效完成乘法操作並且不會爆 $long\ long$ 的演算法，也就是快速乘。本文也將對幾種常用快速乘及其優化技巧做個總結。

我們知道乘法其實就是把很多個加法運算合到一起。現在我們的乘法會爆範圍，那我們就把它轉化為加法。但是我們不可能乙個乙個的加，這樣複雜度會是 $o(n)$ 級別。所以我們模仿2進製加法操作來完成。(這點和快速冪相同)

inline ll ksc(ll x, ll y, ll p) 
return res;
}// ll 表示 long long
/**************************====*/
//寫法優化
inline ll ksc_best(ll x, ll y, ll mod)

當然我們不一定要仿照2進製，也可以是其他進製，只要中間算每一位上數字代表值時不會爆 $long\ long$ 就行！

__int128是c++自帶的乙個資料型別，顧名思義，它可以裝下 $2^$ 級別的大資料，而且可以直接進行各種加減乘除之類的操作（複雜度很接近 $o(1)$ ），不過它需要手寫輸出（但其實我們只需要在運算時用一下就可以了，就像下面這樣：）

ll ans = ((__int128)x * y) % mod;

不過有一點遺憾的就是：比賽中基本上不會允許使用這個資料型別的

這個東西最初我感覺很不靠譜，但它就是能算出來正確答案。它就是用$long\ double$ 來進行優化取模運算。讓我們先看一**實現吧：

inline ll ksc(ll x, ll y, ll p) // ll 表示 long long // ld 表示 long double // ull 表示 unsigned long long

// 一種自動溢位的資料型別（存滿了就會自動變為0）

看到這份**有沒有感到十分奇怪？它中間是直接用了乘法操作的啊！這不直接爆掉了嗎？

但是它就是可以算出正確答案來。因為它其實很巧妙的運用了自動溢位這個操作，我們的**中的z就表示$⌊x×y/p⌋$ ，所以我們要求的就變成了 $x×y−⌊x×y/p⌋×p$ ，雖然這兩個部分都是會溢位的，但（$unsigned$）保證了它們溢位後的差值基本不變，所以即使它會溢位也不會影響最終結果的！

我們知道快速乘的原理其實就是乘法轉加法（上面這種不算），但是這是可以根據題目性質靈活轉變的，我們如何轉成加法決定了我們的複雜度，就像如果模數並沒有超過 $int$ 範圍很多，那我們適當的運用乘法分配律可以讓複雜度非常接近 $o(1) $：

inline ll ksc(ll x, ll y, ll p)

在保證運算不會爆 $long\ long$ 的前提下，我們可以盡量優化其複雜度，就像上述**在模數小於 $10^$ 的情況下完全變成了 $o(1)$ 級別，在某些題目中會十分優秀！

miller rabin 判大質數

pollard rho 大數因子尋找

bsgs 大步小步演算法