差分方程的經典分析方法存在以下不足之處：
若激勵訊號發生變化，則特解部分需要重新求解。
若差分方程右邊激勵項比較複雜，則難以處理。
若初始條件發生變化，則須全部重新求解
這種方法是一種純數學方法，無法突出系統響應的物理概念。
差分方程的迭代分析方法存在以下不足之處：
沒有得出閉式解，不利於數學上進行分析
需要從頭計算才能計算出某時刻的輸出
本文章在此引入差分方程的零輸入響應與零狀態響應分析方法，對於系統來說，該分析方法能很好地表述出系統響應的物理意義。
有差分方程
$\displaystyle^n a_i y[n-i] = \sum_^m b_k x[n-k] } \qquad (a_0=1)$
該差分方程表徵的系統如下圖
從整個系統來說，輸出$y[n]$由兩類外部引數決定：
初始狀態$y[-n],y[-n+1],…,y[-2],y[-1]$
輸入為$x[-m],x[-m+1],…,x[-1],x[0],x[1],…,x[n]$
零輸入表示$x[-m],x[-m+1],…,x[-1],x[0],x[1],…,x[n]$全為0，也就是整個系統的輸出只受初始狀態的影響。此時輸出（輸入響應）為$ y_$。
零輸入響應的迭代計算
$y_[0] = -( a_1 y[-1] + a_2 y[-2] + \cdot\cdot\cdot+a_n y[-n])$
$y_[1] = -( a_1 y_[0] + a_2 y[-1] + \cdot\cdot\cdot+a_n y[-n+1])$
$y_[2] = -( a_1 y_[1] + a_2 y[0] + \cdot\cdot\cdot+a_n y[-n+2])$
$\cdot\cdot\cdot$
$y_[n] = -( a_1 y_[n-1] + a_2 y_[n-2] + \cdot\cdot\cdot+a_n y_[n-n])$
零輸入響應的閉式解
零輸入響應的輸入全為0，即差分方程的右邊為0，也就是說需要求解如下的差分方程：
$\displaystyle^n a_i y[n-i] = 0 } $
最後通過初始條件（初始狀態）$y[-n],y[-n+1],…,y[-1]$求出冪多項式的各個係數。
零狀態的在這裡的意思是零初始狀態，也就是說$y[-n]=y[-n+1]=,…,=y[-1]=0$。那麼整個系統的輸出只受到輸入影響，此時輸出為$y_$
零狀態響應的迭代計算
$y_[0] = b_0x[0]+b_1x[-1]+\cdot\cdot\cdot+b_mx[-m]$
$y_[1] = b_0x[1]+b_1x[0]+\cdot\cdot\cdot+b_mx[-m+1] - a_1y_[0]$
$y_[2] = b_0x[2]+b_1x[1]+\cdot\cdot\cdot+b_mx[-m+2] – (a_1y_[1]+a_2y_[0])$
$\cdot\cdot\cdot$
$y_[n] = b_0x[n]+b_1x[n-1]+\cdot\cdot\cdot+b_mx[n-m] – (a_1y_[n-1]+a_2y_[n-2]+\cdot\cdot\cdot+a_ny_[n-n])$
零狀態響應的閉式解
零狀態響應的初始狀態全為0，也就是說我們需要像往常一樣求得差分方程的閉式解
$\displaystyle^n a_i y[n-i] = \sum_^m b_k x[n-k] } $
不過在最後求係數階段用到的初始條件（初始狀態）為：$y[-n]=y[-n+1]=,…,=y[-1]=0$
回頭看零輸入響應以及零狀態響應的迭代計算，我們發現如下規律：
$\begin
y[0] &= -( a_1 y[-1] + a_2 y[-2] + \cdot\cdot\cdot+a_n y[-n])\\
&\qquad+b_0x[0]+b_1x[-1]+\cdot\cdot\cdot+b_mx[-m] \\
&= y_[0]+y_[0]
\end$
$\begin
y[1] &= -( a_1 y[0] + a_2 y[-1] + \cdot\cdot\cdot+a_n y[-n+1]) \\
&\qquad +b_0x[1]+b_1x[0]+\cdot\cdot\cdot+b_mx[-m+1] \\
&= -( a_1 y_[0] + a_2 y[-1] + \cdot\cdot\cdot+a_n y[-n+1])\\
&\qquad + b_0x[1]+b_1x[0]+\cdot\cdot\cdot+b_mx[-m+1] - a_1y_[0]\\
&= y_[1]+y_[1]
\end$
$y[2] = y_[2]+y_[2]$
$\cdot\cdot\cdot$
$y[n] = y_[n]+y_[n]$
得出結論，線性常係數差分方程系統的輸出是由零輸入響應與零狀態響應組合而來。
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