訊號與系統課件16
1. 連續時間傅利葉變換的性質回顧
傅利葉變換的公式：
f(jω) = int(f(t)·exp(-jωt),t,-inf,inf)=ft[f(t)]
傅利葉反變換的公式：
f(t) = 1/2π * int(f(ωt)·exp(jωt),ω,-inf,inf)=ift[f(jω)]
2. 訊號的傅利葉變換的物理含義：
f(jω)描述訊號在ω頻點處單位頻率的幅度，稱為「頻譜密度函式」，簡稱為「頻譜」。
|f(jω)|頻域頻率分量的相對大小關係，稱幅度頻譜。φ(ω)反映各分量的初始相位，被稱為相位頻譜。
3. 系統的頻域表示(略)
4. 時移特性(訊號經過傳輸線)
如果：ft[f(t)] = f(jω)
那麼：ft[f(t-t0)] = f(jω)·exp(-jωt0)，其中t0為任意實數。
證明過程：略。
5. 頻域特性(訊號經過混頻器)
如果：ft[f(t)] = f(jω)
那麼：ft[f(t)·exp(jω0 t)] = f[j(ω-ω0)]，ω0是任意實數
證明過程：略
6. 時域微分特性(電流經過電感)
如果：f(t) → f(jω)
那麼：df(t)/dt → jωf(jω)
那麼：d^nf(t)/dt^n → (jω)^n f(jω)
證明過程：略。
7. 頻域微分特性(頻域過微分器)
如果：f(t) → f(jω)
那麼：t f(t) → j d/dω f(jω)
那麼：t^n f(t) → j^n d^n/dω^n f(jω)
證明過程：略。
8. 時域卷積定理(訊號經過系統的零狀態響應)
如果：f1(t) → f1(jω)，f2(t) → f2(jω)
那麼：f1(t)*f1(t) → f1(jω)·f2(jω)
證明過程：略
9. 頻域卷積定理(兩個訊號混頻的結果)
如果：f1(t) → f1(jω)，f2(t) → f2(jω)
那麼：f1(t)·f1(t) → 1/2π f1(jω)*f2(jω)
證明過程：略
10. 時域積分定理(電流過電容的頻域結果)
如果：f(t)→f(jω)，且f(0)有限
那麼：int(f(τ),τ,-inf,t)→f(jω)/jω + πf(0)δ(ω)
證明過程：略。
11. 傅利葉變換性質中，包括了系統頻域分析的重要內容
- 頻域基本訊號經過線性時不變系統
- 一般訊號經過線性時不變系統
- 頻率響應h(jω)的求法
- 微分方程的頻域表示
- 電路系統的頻域表示
12. 頻域基本訊號經過線性時不變系統
說明：頻域分析中，所有訊號分量的定義域都為(-inf,inf)，而t=-inf總可認為系統狀態為0，因此頻域分析的響應應指零狀態響應。
設lti系統的衝激響應為h(t)，當輸入為頻域基本訊號exp(jωt)時，其響應為：
y(t) = int(h(τ)·exp(jω(t-τ)),τ,-inf,inf) = int(h(τ)·exp(-jωτ)),τ,-inf,inf)·exp(jωt)
而上式積分int(h(τ)·exp(-jωτ)),τ,-inf,inf)正好是h(t)的傅利葉變換，記為h(jω)，常稱為系統的頻率響應函式。
y(t) = h(jω)·exp(jωt)
h(jω)反映了響應y(t)的幅度和相位。
時域卷積系統(訊號經過系統的零狀態響應)
h(jω)表示系統對輸入訊號頻譜特性的改變，稱為系統的頻率響應。
h(ω)表示系統對輸入各頻率分量大小的改變，稱為系統的幅頻響應。
φ(ω)表示系統對輸入各頻率分量初始相位的改變，稱為系統的相頻響應。
13. 一般訊號結果線性時不變系統
14. 頻率響應h(jω)的求法
① 由單位衝激響應h(t)經過傅利葉變換得到
② 點測法，輸入單頻訊號exp(jωt)
③ 設輸入為f(t)時，輸出yf(t)。則h(jω)=yf(jω)/f(jω)
15. 微分方程系統的頻域表示(略)
16. 電路系統的頻譜分析
電阻復阻抗：h_r(jω)=r
電容復阻抗：h_c(jω)=1/jωc
電感復阻抗：h_l(jω)=jωl
17. 無失真傳輸
無失真傳輸：指系統的輸入訊號波形與輸入訊號波形相同，只允許改變其幅度即增加一定的延遲時間。相應的系統稱為無失真傳輸系統。
yf(t)=kf(t-td)
h(ω)=k
φ(ω)=-ωtd
一般認為，無失真傳輸系統應滿足兩個條件：
① 系統幅頻特性字整個頻域範圍-inf
② 相頻特性在整個頻率範圍內是過座標原點的一條斜率為負直線，即輸入訊號各頻率分量通過系統後的附加相移與頻率成正比。
實際上：k不需要是實常數，復常數也可以(更常見的是復常數)。當k為復常數使，相頻特性不過原點，是一條不過原點的直線。由於相頻特性函式的週期為π，相頻特性通常會有跳躍為π的斷點。
擴充無失真傳輸的定義：
如果系統的傳輸頻寬包含訊號的頻率範圍或者有效頻頻寬度，並且同時具備或近似具備φ(ω)=-ωtd、h(ω)=k，則稱系統是無失真傳輸系統。
18. 濾波
通過訊號經過系統後，若輸入訊號中各頻率分量的相對大小或相位發生改變(某些頻率分量甚至消失)，那麼系統的作用被稱為濾波。若系統傳輸頻寬小於訊號頻率頻寬或者訊號有效頻寬，系統表現為具有頻率選擇特性的濾波器。濾波器是一種典型的線性時不變系統。
濾波器的種類：
按照濾除的頻率分量：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器
按照種類的分類：理想濾波器、巴特沃斯濾波器、切比雪夫i型濾波器、切比雪夫ii型濾波器、橢圓濾波器等。
理想濾波器：分為理想低通濾波器、理想高通濾波器、理想帶通濾波器。
19. 理想低通濾波器(ilpf)
通帶：ω∈(-ωc,ωc)
截止頻率：ωc
阻帶：|ω|>ωc
系統頻率響應：h(jω)=g_(ω)·exp(-jωtd)
20. 理想高通濾波器(ihpf)
通帶：|ω|>ωc
阻帶：ω∈(-ωc,ωc)
系統頻率響應：h(jω)=[1-g_(ω)]·exp(-jωtd)
21. 理想帶通濾波器
通帶：|ω-ω0|
阻帶：|ω-ω0|>ωc
系統頻率響應：h(jω)=g_(ω+ω0)·exp(-j(ω+ω0)td) + g_(ω-ω0)·exp(-j(ω-ω0)td)
22. 理想帶阻濾波器
通帶：|ω-ω0|>ωc
阻帶：|ω-ω0|
系統頻率響應：h(jω)=[1-g_(ω+ω0)]·exp(-j(ω+ω0)td) + [1-g_(ω-ω0)]·exp(-j(ω-ω0)td)
23. 理想低通濾波器的時域響應：
理想低通濾波器的衝激響應：
h(t) = ωc/π·sa[ωc(t-td)]
關於理想低通濾波器：
① 波形產生失真
② 失真的原因：|ω|>ωc的頻率分量被截斷
③ 非因果，不可實現
當ωc→∞，理想的低通濾波器逼近於全通，無失真傳輸系統
理想低通濾波器的階躍響應特點：
① 波形產生失真，上公升沿不再陡峭。
② u(t)無輸入時，已有輸出←→理想低通濾波器為非因果系統
③ 圍繞s(t) = 0和s(t) = 1的振盪被稱為吉布斯波紋，振盪頻率等於截止頻率ωc
④ 預衝最大值到過衝最大值的時間為總的週期2π/ωc
s(t) = 1/2 +1/π·si[ωc(t-td)]
分析了理想低通濾波器對矩形脈衝和週期對稱方波訊號的響應。有興趣的同學可以自學。
理想低通濾波器的作用是對輸入訊號進行頻域加窗(矩形窗)，頻率階段效應引起時域的吉布斯波紋。用其他的頻窗，如三角形窗，有可能使吉布斯波紋減小。反之，如果在時域加窗，同樣其頻譜會出現吉布斯波紋。根據需要選擇合適的時窗函式或頻窗函式，在數字訊號處理中會得到應用。
理想低通濾波器是：非因果系統、物理不可實現系統。但不等於無意義的系統。
24. 物理可實現濾波器
物理可實現系統的條件
就時移特性而言，乙個物理可實現系統，其衝激響應h(t)在t<0時必須為0，即h(t)=0，t<0。
即：相應不應在激勵作用之前出現。
就頻率特性來說，佩利和維納證明了物理可實現系統的幅頻特性必須滿足：
int(|h(jω)|^2,ω,-inf,inf)
並且int(|ln(h(jω))|/(1+ω^2),ω,-inf,inf)
稱為：佩利維納準則(必要條件)
從該準則可以看出，對於物理可實現系統，其幅頻特性可在某些孤立頻率點上為0，但不能在某個有限頻帶內為0。
理想低通濾波器就不滿足條件2。
物理可實現低通濾波器：乙個電阻乙個電容，電容處接出。
物理可實現高通濾波器：乙個電阻乙個電容，電阻處接出。
物理可實現帶通濾波器：乙個電阻乙個電容乙個電感，電阻處接出。
差分方程的零輸入響應與零狀態響應
差分方程的經典分析方法存在以下不足之處 若激勵訊號發生變化，則特解部分需要重新求解。若差分方程右邊激勵項比較複雜，則難以處理。若初始條件發生變化，則須全部重新求解 這種方法是一種純數學方法，無法突出系統響應的物理概念。差分方程的迭代分析方法存在以下不足之處 沒有得出閉式解，不利於數學上進行分析 需要...
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拉氏變換法求解線性常微分方程（系統的零狀態響應）
線性微分方程的概念可參考 維基百科 對於系統的零狀態響應 求系統的單位脈衝響應函式與輸入函式的卷積積分，求系統的單位脈衝響應函式可用系統函式拉氏逆變換求。系統函式h s b s a s 對應的單位脈衝響應為w t l 1 h s 求逆變換的重要方法之一是部分分式法，即將上述多項式分解成為多個s的一次...