我們要求形如這樣的乙個卷積：
\[h_s =\sum_\sum_ [l\cup r=s] f_l g_r
\]回憶一下之前所學的莫比烏斯反演，本質上是把質因子看成多重集合，這裡的集合並等價於莫比烏斯反演的兩個數的 \(\text\)，不妨直接對這個集合做莫比烏斯變換，定義：
\[f'_s = \sum_ f_t
\]\[f_s = \sum_ (-1)^ f'_t
\]對這個卷積左右兩邊都反演一下可以得到：
\[h'_s = \sum_\sum_[l \cup r \subseteq s]f_lg_r \\
h'_s = \sum_\sum_[l \subseteq s][r \subseteq s]f_lg_r \\
h'_s = \sum_[l \subseteq s]f_l\sum_[r \subseteq s]g_r \\
h'_s = f'_sg'_s
\]然後只需要 \(o(n2^n)\) 簡單遞推出 \(f'\) 就可以求解了：
我們要求形如這樣的乙個卷積：
\[h_s =\sum_\sum_ [l\cap r=s] f_l g_r
\]類似關於倍數的莫比烏斯反演，將反演的式子重新定義一下就好了：
\[f_s = \sum_ (-1)^ f'_t
\]我們要求形如這樣的乙個卷積，其中 \(\bigoplus\) 表示異或：
\[h_s =\sum_\sum_ [l\oplus r=s] f_l g_r
\]這裡先引入乙個在 vfk 《炫酷反演魔術》課件中的乙個看上去沒用的東西輔助推導：
\[\frac \sum_ (-1)^ = [s = \emptyset]
\]正確性可以自己驗證一下：
然後這裡定義 \(f\) 的沃爾什變換 \(f'\):
\[f'_s = \sum_ f_t (-1)^ \\
\]考慮怎麼求逆變換：
\[f_s = \sum_ f_t [s \oplus t=\emptyset] \\
f_s = \sum_ f_t \frac \sum_ (-1)^ \\
f_s = \frac \sum_ f_t \sum_ (-1)^(-1)^ \\
f_s = \frac \sum_(-1)^\sum_ f_t (-1)^ \\
f_s = \frac \sum_(-1)^f'_a \\
\]然後對於原來的卷積形式進行一些變換：
\[h_s = \sum_\sum_ [l\oplus r\oplus s=\emptyset]f_lg_r\\
h_s = \sum_\sum_
\frac \sum_ (-1)^f_lg_r \\
h_s = \frac \sum_\sum_
\sum_ (-1)^(-1)^(-1)^f_lg_r \\
h_s = \frac \sum_ (-1)^ \sum_(-1)^f_l\sum_
(-1)^g_r
\]根據之前推出的沃爾什變換：
\[h_s = \frac \sum_ (-1)^f'_sg'_s \\
h'_s =f'_s g'_s
\]與上面類似的，接下來只需要 \(o(n2^n)\) 遞推出 \(f'\) 即可。
我們要求形如這樣的乙個卷積：
\[h_s =\sum_ f_t g_
\]\[h_s =\sum_\sum_ [l\cup r=s][cnt_l+cnt_r=cnt_s] f_l g_r
\]對於 \(cnt\) 相同的 \(f ,g\) 放在一起做快速莫比烏斯變換，對於 \(cnt\) 相同的 \(h\) 列舉乙個 \(l\) 的大小後直接點乘即可，複雜度 \(o(n^22^n)\)
預處理出每乙個集合劃成乙個州是否可行，計算出 \(g_s\) 當州可行時為 \(sum_s^p\) 否則為 \(0\)
設 \(f_s\) 表示當前選取集合為 \(s\) 時的滿意度之和，不難得到遞推式：
\[f_s = \sum_ \frac}
\]提出乙個 \(sum_s^p\) 可以得到：
\[\frac} = \sum_ f_t g_
\]後面是乙個熟悉的子集卷積的形式，觀察到都是由 \(cnt\) 的 \(f\) 轉移到 \(cnt\) 大的 \(f\) ，對 \(g\) 求莫比烏斯變換後直接分層點乘即可。
注意點乘完處理回去的時候由一些細節，子集卷積後只有 \(cnt_s=\) 當前列舉的大小的位置答案是正確的，要把不正確的位置清 \(0\) 不然會影響後面的遞推值。
code
/*program by mangoyang*/
#include#define inf (0x7f7f7f7f)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
typedef long long ll;
using namespace std;
template inline void read(t &x)
#define int ll
const int n = 25, len = 5000005, mod = 998244353;
vectorg[n];
int f[n][len], h[n][len], sum[len], dig[len], fa[n], w[n], n, m, p;
inline void up(int &x, int y)
inline int ask(int x)
inline int pow(int a, int b)
inline int check(int s)
} for(int i = 0; i < n; i++)
tot += ((s >> i) & 1) & (fa[i] == i);
return tot > 1;
}inline void fmt(int a, int sgn)
if((flag || check(s)) && dig[s] != 1)
h[dig[s]][s] = pow(sum[s], p);
} for(int i = 0; i <= n; i++) fmt(h[i], 1);
f[0][0] = 1, fmt(f[0], 1);
for(int i = 1; i <= n; i++)
cout << (f[n][(1
}
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