雙人取牌問題研究(誰取最後一張誰贏)
一、名稱定義
①堆張：多少堆，每堆多少張
②堆張的數學表示法(牌不分左右順序，該表示法按左小又大排序只是為了便於討論)：
(2,3)表示兩堆牌，一堆2張，一堆3張。
(1,2,3)表示三堆牌，一堆1張，一堆2張，一堆3張
③先手必勝堆張：如(1,2,4)，先取成(1,2,3)
先手必敗堆張：如(2,2)，(1,2,3)
先手不能決堆張：先手不能決定勝負的堆張
④堆張總集合：(x1,x2,x3...) 表示任意堆，任意張
兩堆牌總集合：(x,y) 表示兩堆，任意張。(2,2)屬於這個集合，(36,89)也屬於這個集合
三堆牌總集合：(x,y,z)
二、研究問題
①是否存在先手不能決堆張？
答案：不存在
反正法：假設存在乙個(x1,x2,x3...)的先手不能決勝負堆張，當我取完若干張後，這時堆張為以下三種情況；
1 先手必勝堆張 2 先手必敗堆張 3 先手不能決堆張
如果為1，則原堆張為先手必敗堆張；如果為2，則原堆張為先手必勝堆張；如果為3，這時情況略微複雜一些，假設
先手不能決堆張取完一次後仍為先手不能決堆張，可以再取一次，先手不能決堆張→先手不能決堆張→...→先手不能決堆張
這個過程不是無限的，因為牌的總數不為無限，最後一張牌總會被取完，所以證明不存在先手不能決堆張。
由此推出：堆張總集合 = 先手必勝堆張集合 + 先手必敗堆張集合
②給出堆數，求解先手必敗堆張集合(先手必勝集合為必敗堆張中某堆加n張即可)？
一堆牌，先手必敗堆張集合：無
兩堆牌，先手必敗堆張集合：(x，x)
三堆牌，先手必敗堆張集合：
(1,2,3)(1,4,5) (1,6,7) (1,8,9)。。。
(2,4,6)(2,5,7)(2,6,8)(2,7,9)(2,8,10)(2,9,11)(2,10,12)。。。
(3,4,7)(3,5,6) (3,7,8) (3,9,10)。。。
(4,5,9)(4,6,10)(4,7,11)(4,8,12)。。。
。。。公式我還沒推導出來，但也發現必敗堆張有以下規律：
1 很容易發現除了第3排以外，基本都是x1+x2=x3
2 3堆牌數總和都為偶數
3 某一必敗堆張在兩堆牌中分別加一張構成了新的必敗堆張，如（2,4,6）→（3,4,7）
結論：不妨設x1<=x2<=x3
若x1+x2=x3 若（x2+x3-5)%4=0 減5除以4，是否能除盡。若能，先手必敗，若不能，先手必勝。
若x1+x2 !=x3 則x1+x2+x3=偶數，先手必敗；則x1+x2+x3=奇數，先手必勝
也就是說，開始了的數字就注定了最後的輸贏結果。
1）兩堆的情況，若等則 先手必敗，不等的情況，先手必勝，因為轉化成等的情況
2）三堆的情況，看x2 和x3 若相等，直接拿掉x1堆，好辦。若x2和x3不等，怎麼辦呢，x1 又存在。我們知道（1,1,1）先手必勝
3）（1,2,3）先手必輸的原因就是無論怎麼拿，拿掉1堆也好，只剩兩堆，而且不等，再拿乙個（或者幾個），使相等，那麼先手就輸了
若2 拿1個，或3拿1個，又可以轉化成相等，必輸
1）兩堆的情況，若等則必敗
2）三堆的情況 （1,2,3）先手必輸的原因就是無論怎麼拿，拿掉1堆也好，只剩兩堆，而且不等，再拿乙個（或者幾個），使相等，那麼先手就輸了
若2 拿1個，或3拿1個，又可以轉化成相等，必輸
（1,2,3）→（1,2,1） 或（1,2,2）或（1,1,3） 都有相等的情況出現，故也必輸
（0，1,2)或,0，1,3 ）或,0，2,3）都不等，必輸
說白了，終極判斷條件就是。如果x1 x2 x3 有相等的情況 則其必輸
初始化的時候，先判斷三個，若有兩個相等，則先手必輸
最終條件就是：判斷（0,0,0）為誰拿之後的狀態，誰就贏
你拿多少個，我就拿多少個，這是每個人的判斷標準（只有這一堆裡不出現0,1,2,3）或者同時出現 2,3才來判斷即可
先手必輸的例子
1,5,6 先手勝，1,6,7 先手敗。。故先手必勝 1 101 200 →1,100,101 →1,6,100→1,6,7→1,5,7→1，4,5→
→1,7,100 →1,6,7
→1，8,100 → 1,8,9
→1,21,100 →1,20,21
3,50 ，100 先手勝 3,50 ，100 →3,50,53 →3,20,50 →3,20,23 →3,6,23 →3,6,9，→3,6,7 →3,4,7→（3，1）（3，2）都輸
2,5,6 先手必勝嗎？ 2,5,6 →2,4,5 1 個，兩個，三個，四個都不好 故必勝
除了這些搭配，其餘都是先手必勝。因為它可以轉化這種例子
（1,1,2）（1,2,2）(1,2,3)(1,4,5) (1,6,7) (1,8,9)。。。
(2,4,6)(2,5,7)(2,6,8)(2,7,9)(2,8,10)(2,9,11)(2,10,12)。。。
(3,4,7)(3,5,6)（3,6,9） (3,7,8) (3,9,10)。。。
(4,6,10)(4,7,11)(4,8,12)。。。
最後結論：
初始化的時候，①先判斷三個，若有兩個相等，則先手必勝。因為可以直接拿掉另外一堆牌。
②若沒有相等的時候，不妨設x1ii）若x1+x2=x3 若x1為偶數且x2=x1+1 ，則先手必勝 若x2為偶數 則先手必敗。
ii）若x1+x2=x3 ①若x1為奇數1時，x2是偶數時，則先手必敗
iii)若x1+x2=x3 ②若x1為其他奇數時，則先手必敗
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