leetcode hot 100 分割等和子集

給定乙個只包含正整數的非空陣列。是否可以將這個陣列分割成兩個子集，使得兩個子集的元素和相等。

注意:

每個陣列中的元素不會超過 100陣列的大小不會超過 200

示例 1:

輸入: [1, 5, 11, 5]
輸出: 
true
解釋: 陣列可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

輸入: [1, 2, 3, 5]

輸出:

false

解釋: 陣列不能分割成兩個元素和相等的子集.

每個元素都有選和不選兩種可能，如果當前和等於總和的一般，直接返回，標記置為true,

如果當前和大於sum的一半，也直接返回，因為當前和已經超過了一半，沒必要往下加了

1
class
solution 
11//
如果和是奇數，那直接返回false, 因為奇數不可能分割成兩個和相等的子集
12if(sum % 2 == 1)
1516
//使用回溯判斷設定標記位
17         traceback(0, 0, nums, sum);
18return
flag;        19}
2021
public
void traceback(int nowsum, int nowindex, int nums, int
sum)
25if(nowsum >= sum /2)
29return;30
}31//選
32         traceback(nowsum + nums[nowindex], nowindex + 1, nums, sum);
33//
不選34         traceback(nowsum, nowindex + 1, nums, sum);35}
36 }

超時，只通過了36/115個測試用例

時間複雜度：o(2n), 每個數都有選和不選兩種可能，所以把所有情況都遍歷了一遍，時間複雜度為o(2n)。

空間複雜度：o(n)。遞迴棧的深度最大為o(n)。

思路參考：

dp[i][j]表示前i個數是否能湊出和為j的數

當不算第i個數時，dp[i][j] = dp[i-1][j];

選第i個數數時，dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i]]

所以狀態轉移方程為：dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j - nums[i]];

初值：dp[i][0]每個數都可以選和不選，所以dp[i][0] = true,即前i數都不選，則和為0，當單個元素選的時候，dp[i][nums[i]] = true，但是在賦初值的過程中，需要判斷nums[i]是否大於target，如果大於則陣列會越界，並且如果存在單個數字大於和的一半，那肯定就不能分割成兩個等值的陣列了，直接返回false 即可。

剪枝：如果dp[i][target]為true, 那dp[n-1][target]肯定為true

1
class
solution 
11//
如果和是奇數，那直接返回false, 因為奇數不可能分割成兩個和相等的子集
12if(sum % 2 == 1)
1516
int target = sum / 2;
17boolean dp = new
boolean[len][target + 1];
1819
for(int i = 0; i < len; i++)
24             dp[i][nums[i]] = true;  //
單個數字選25}
2627
for(int i = 1; i < len; i++)
32                 dp[i][j] = dp[i - 1][j];
33if(j - nums[i] >= 0)36}
37}38return dp[len - 1][target];    39}
40 }

leetcode 執行用時：63 ms > 12.98%, 記憶體消耗：39 mb > 42.98%

時間複雜度：o(nc)。c是和的一半，求出了所有的dp[i][j]，所以時間複雜度為o(nc)。

空間複雜度：o(nc)。需要乙個大小為 (n * (c+1))的陣列，所以空間複雜度為o(nc)。

可以看到，dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i-1][j-nums[i]], dp[i][j]之和上一行的dp[i-1]有關，所以只要用乙個大小為（target + 1）一維陣列，記錄下上一行的dp值即可。但是因為 dp[i][j]用到了dp[i-1][j-nums[i]], 所以為們應該從target到0，逆序生成新的一行dp值，因為如果我們正序遍歷的話，那dp[i][j-nums[i]]就會被更新成新的一行的值，後面使用該資料的後就出錯了，我們需要的上乙個行的值。

因為倒序遍歷，且 j-nums[i]作為下標，所以為了下標不越界，當 j < nums[i]就可以開始不用向下遍歷了。所以減少了迭代次數，所以同時也降低了時間複雜度。

1
class
solution 
11//
如果和是奇數，那直接返回false, 因為奇數不可能分割成兩個和相等的子集
12if(sum % 2 == 1)
1516
int target = sum / 2;
17boolean dp = new
boolean[target + 1];
1819         dp[0] = true;        //
第0個數字不選
20if(nums[0] > target)
23         dp[nums[0]] = true;  //
第0個數字選
2425
for(int i = 1; i < len; i++)
30                 dp[j] = dp[j] || dp[j -nums[i]];31}
32}33return
dp[target];    34}
35 }

leetcode 執行用時：20 ms > 82.32%, 記憶體消耗：37.9 mb > 81.35%

時間複雜度：o(nc)。同樣求出了每個i對應的 dp[j], 但是因為 j > nums[i]時即可停止本輪迭代，所以一定程度上減少了迭代次數，所以執行時間比思路二短一些。但是總的時間複雜度還是o(nc)。

空間複雜度：o(c)。需要乙個大小為 c+1的陣列，所以空間複雜度為o(c)。

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