補檔 HNOI 2008 GT考試

阿申準備報名參加gt考試，准考證號為n位數x1x2....xn(0<=xi<=9),他不希望准考證號上出現不吉利的數字。

他的不吉利數學a1a2...am(0<=ai<=9)有m位，不出現是指x1x2...xn中沒有恰好一段等於a1a2...am. a1和x1可以為0

第一行輸入n,m,k.接下來一行輸入m位的數。 n<=10^9,m<=20,k<=1000

阿申想知道不出現不吉利數字的號碼有多少種，輸出模k取餘的結果.

4 3 100

111

這道題一開始真心沒有什麼思路，後來我跟兩個dalao一起商（luan）談（gao）了乙個來小時，終於搞了出來= =

首先，我們我們考慮兩個串（從短到長）

第乙個串為不斷增加的准考證號，第二個串為不吉利的號碼，第乙個串的字尾與第二個串的字首為重複部分，那麼我們很容易得出遞推關係

先扯出來，考慮兩個集合，乙個集合為不吉利的號碼，乙個集合為吉利的號碼。我們只考慮字尾（正確性顯然，因為長度長的串一定是由長度短的串遞推過來的，所以如果前面有不吉利串，一定被前面的串卡掉了），當字尾包含了m個不吉利串，該串一定是不吉利的。那麼，字尾包含0~m-1個不吉利串的字首的串一定是吉利的。所以，我們把求不吉利的串轉化為求字尾包含不吉利串0~m-1 的串的方案數

然而與字串有啥關係？

考慮這樣乙個不吉利串

當你的字尾帶了2時，你怎麼知道你的後幾位是12還是12312？所以，加一位不吉利數不代表直接在後面加了一位。

那麼，問題來了，如何表示這些奇（chun）奇（de）怪（bu）怪（xing）的轉移？

考慮乙個遞推矩陣，設dp[i][j]為第i個號碼匹（zhuan）配（yi）到第j個不吉利數字的方案數，設a[k][i]為k位後加乙個數轉移到j的方案數，我們可以輕易的得出遞推關係：

用kmp構造初始矩陣，矩陣快速冪得到遞推結果。

為什麼是矩陣快速冪？

這個問題很簡單。我們知道，矩陣乘是這樣寫的：

1
martrix tmp;
2for(int i=0;i)
3for(int j=0;j)9}
10return tmp;

view code

那麼問題就簡單起來了，考慮乙個3*3的初始矩陣，第i行，第j列表示從第i位加乙個數字轉移到第j為數字的方案數，那麼以該矩陣的平方的第一行第一列的數為例，（設初始矩陣為a，該矩陣為x）：

x[1][1]=a[1][1]×a[1][1]+a[1][2]×a[2][1]+a[1][3]×a[3][1];

因為是平方得到的矩陣，所以代表了轉移兩步的狀態，我們知道，x[1][1]代表了從第一位經兩步轉移到第一位的方案數，由加法原理可知：

1->1(經兩步)=(1->1->1)+(1->2->1)+(1->3->1)

而又由乘法原理可知：

1->2->1=(1->2)×(2->1)

那麼正確性就很顯然了，由矩陣快速冪的遞推關係可知，最終結果即為第一行的數的和

至於kmp，把10個數字扔進去亂搞就是了= =

記得要模k= =

1 #include2 #include3 #include4
using
namespace
std;
5int
n,m,mod;
6char s[25];7
int kp[25
];8 inline void
get_kp()19}
20struct
node
25     node operator*(node &a)34}
35return
tmp;36}
37     node operator*=(node &a)
41}a,sing;
42 ostream& operator
<
48return
out;49}
50int
main()
64         }//
cout<65
/*for(int i=0;i66
for(int j=0;j67
cout<68
cout<
*/70
for(int i=0;i)
71         sing.data[i][i]=1;72
inttmp(n);
73while
(tmp)
81int ans(0
);82
for(int i=0;i)
86     cout<
87//
while(1);
88 }

view code

ps：2017-6-14 晚講題用題解

pss：調矩陣快調死了= =，最後發現初始矩陣求錯了= =

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