攤銷分析
攤銷是一種，功過相抵的思想：
①中國古代，某大臣因為犯錯，看在立下汗馬功勞的份上，從輕發落。
②圖靈被發現時個同性戀者，但因破解了德國海軍密碼，抵消罪過。
攤銷分析vs平均情況分析
以一場籃球比賽為例。
平均情況分析：比賽結束後乙個隊伍的得分就是所有隊員得分的總分，除以隊員數，就是每個隊員平均得分。
攤銷分析：針對的是最壞情況下的平均，既每個隊員表現的都是平時訓練時的最差水平
攤銷分析（最差情況下的平均）≠ 平均情況分析！
攤銷分析vs最壞時間複雜性分析
1.最壞時間複雜性分析：分析演算法的最壞時間複雜度。
2.攤銷分析：連續執行n次最壞情況分析可能沒有反應現實，因為特定的演算法和資料結構，最壞情況不一定連續發生。
攤銷分析（執行n次平均）≠ 最壞時間複雜性分析（單次）
攤銷分析的目的：
找出演算法進行一系列操作時，在最壞情況下乙個操作的平均成本，主要從演算法的執行步驟，演算法的資料結構兩個方面分析。
概率分析vs攤銷分析
概率分析：
1.考慮演算法平均執行時間
2.考慮演算法的所有可能輸入
3.可能涉及使用概率，稱為期望執行時間
攤銷分析：
1.執行步驟中的平均最壞情況下的效能
2.針對某乙個資料結構的操作
3.不涉及概率問題
攤銷分析的三種方法：
聚類法
先求出合計，然後求平均。求出n個操作的總代價上界t(n)，每個操作的攤銷代價t(n)/n。
簡單
常用會計法
計算每個操作的攤銷成本，累加每個個體操作的攤銷成本，得到一組操作的總攤銷成本。
複雜勢能法
類似記賬，存款不是某一操作的，而是整個資料結構的勢。
可靠準確
方法一：聚類分析
棧操作的聚類分析，核心思想
對資料結構共有n個操作，最壞情況下：
操作1：t1
操作2：t2
操作3：t3
操作n：tn
t(n)=t1+t2+...+tn
攤銷代價t(n)/n
棧操作的聚類分析：
棧的主要特性為先進後出，主要操作有壓棧（push）和出棧（pop）；
push(s,x)：將x壓入棧s，時間成本o(1);
pop(s)：將棧頂元素彈出，時間成本o(1);
multipop(s,k)：將棧s中k個元素連續彈出，如果元素不到k個，則一直將棧談空為止，操作成本min(|s|,k);
提問：假如我們進行了一組壓棧，出棧的操作，一共n次，最壞情況下，n次操作的成本是多少？
聚類分析：
由於棧這種資料結構如果進行了n次push操作，則pop操作的次數不可能大於n次，所以最壞的情況是進行了n-1次push操作，最後一次執行multipop。
操作成本為2（n-1）次。一組n次push、multipop操作的總成本為o(n)，分攤到n個操作上，每個操作的攤銷成本只有o(1)；
注：因為不知到push、multipop各進行了多少次，無法單獨計算每個操作的成本，但可以計算出總成本的上限。適合使用聚類分析。
這種將一類操作聚集在一起進行總成本分析，然後平坦到每個操作上的思想，就是聚類分析。
二進位制計數器的聚類分析
所有時鐘計數器抽象層面上看成乙個二進位制計數器，乙個n位的二進位制計數器用陣列a[n-1]來表示，a[0]為最低有效位，a[n-1]為最高有效位。
從0開始往上計數，到2的n次方為止，計數過程中，不同字位可能發生變化，1變0，0變1，假定每次反轉成本為1。
如0111，加一之後為1000，翻轉了4位，則這次操作成本為4。
遞增函式實現如下：
increment(a)i=0;
while(i1
)if(i計數到2的n次方，總共遞增2的n次，在這n次遞增操作中，字位翻轉總數
n（1+1/2+1/4+1/8+...1/2^n）=2n
所以n次遞增操作的成本只用o(n)，平坦之後，每次的操作成本為o(1)。
方法二：會計分析
聚類分析的特點是將所有操作看作乙個整體，計算總成本，用總成本除以運算元獲得攤銷成本。另一種方法就是，分別計算每個操作的成本，然後累加再平均，這就是會計分析。
會計分析和聚類分析之間有個顯著的不同：聚類分析的所有操作攤銷成本是一樣的，而會計分析裡不同操作可以有不同的攤銷成本。
以棧為例，當壓入乙個元素時，實際成本為1，但壓進去的總歸要彈出來，它必然還有個彈出的成本。現在我們將乙個操作現在和以後產生的成本總計下來，壓棧的攤銷成本為2。而後續pop和multipop的成本已經考慮過了，所以攤銷成本為0。
所以，對於乙個n個操作的序列，總攤銷成本最多為2n，因此總攤銷成本為o(n)，單個操作的攤銷成本為o(1)。
方法三：勢能分析
會計分析中，將未來可能產生的成本記錄下來，稱為信用，存放在個體操作中。這並不是唯一方法，將信用存放在整個資料結構中供所有元素共享，存放在資料結構中的信用，可以看作一種潛在的支付能力，我們稱為勢能，這種分析方法被稱為勢能分析。
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