差分差分陣列樹狀差分

原陣列 ai94

759差分陣列 bi9-5

3-24差分陣列的字首和94

759顯然通過求字首和可以做到單點查詢

他高效的地方在於區間修改,比如我們對區間[2,4]每個元素加上5，我們只需在差分陣列：b2+=5,b5−=5，然後求字首和即可

原陣列 ai94

759差分陣列 bi

903-2

-1

差分陣列的字首和99

1210

9[1,2]仍不變, [2,4]的字首和都加了5, 4以後的話+5,-5相抵消, 還是不變的

因此差分陣列能夠高效的解決區間修改單點查詢的問題。

樹的以下兩個性質：

任意兩個節點之間有且只有一條路徑。

根節點確定時，乙個節點只有乙個父親節點。

如果假設我們要考慮的是從u到v的路徑，u與v的lca是a，,我們將路徑拆分成 u->a和a->v

如果題目要求對樹上的一段路徑進行操作，並詢問某個點或某條邊被經過的次數，樹上差分就可以派上用場了。

設原陣列為a，差分陣列為d。假如給d[i]+1，其實就相當於給a[i]~a[n]每個元素+1

如果給樹上的乙個節點x的d[x] +1, 相當於a[root]~a[x]鏈上的每個節點都+1

假設a=lca(x,y)。把鏈x~y分成兩個鏈，x~a和a~y。即d[x]+1,d[y]+1。

但這樣鏈a~root增加了2，我們讓d[a]-1，此時fa[a]~root變成了-1，需要d[fa[a]]-1完美解決。

例題：松鼠的新家(luogu p3258)

description

input

output

input
5
1 4 5 3 2
1 22 4
2 34 5
output
121
21

#include using namespace std;
const int maxn=3e5+5;
struct edgee[2*maxn];
int n, len, a[maxn], head[maxn], dep[maxn], f[maxn][21], sum[maxn];
void insert(int u, int v)
void dfs(int u, int fa)    
if(u==v) return u;
for(int i=20; i>=0; i--) if(f[u][i] != f[v][i]) u = f[u][i], v = f[v][i];            
return f[u][0];
}void search(int u)
}int main()
dfs(1,0);
for(int i=1; i<=n-1; i++)
search(1);
for(int i=2; i<=n; i++) sum[a[i]]--;//2-n的點都多算了一次
for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d\n",sum[i]);
return 0;
}

用cf[i]代表從i到i的父親這一條路徑經過的次數。令a=lca(u,v)因為關於邊的差分，a表示a到其父親的那條邊，不在u~v路徑中，所以cf[u]++,cf[v]++,cf[a]−=2。

思路最小的長度, 肯定在 0 - maxl(最長的那條道路) 之間, 我們可以用二分在 0-maxl列舉, 每次列舉統計長度超過mid的路徑的條數cnt, 找到一條被經過了cnt次的邊(這條邊可以影響所有長度超過mid的路徑), 把符合條件的邊中最長的那一條歸零, 如果cnt條路徑中最長的減去這條邊權<=mid, 則當前的mid合法.

#include using namespace std;
const int maxn=3e5+5;
int f[maxn][22],head[maxn],edge[maxn],dep[maxn],dis[maxn];
int st[maxn],ed[maxn],c[maxn],lca[maxn],len[maxn];
int n,m,lene,maxl,ans,cnt,max_edge;
struct edgee[maxn<<1];
void insert(int x,int y,int z)
void dfs(int u)
if(u==v) return u;
for(int i=20; i>=0; i--) if(f[u][i] != f[v][i]) u = f[u][i], v = f[v][i];
return f[u][0];
}int getdis(int i) //求第i條路徑長度
int dfs2(int u)
if(tot==cnt) max_edge = max(max_edge, edge[u]);
return tot;
}bool check(int mid)
int main()
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

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