尤拉函式及其性質

1. 尤拉函式定義

尤拉函式φ(n)表示的是小於等於n且和n互質的正整數的個數。（易知φ(1) = 1）

2. 尤拉函式公式

對於任意整數n，若其質因數分解結果為n = p1

k1p2

k1... pn

kn，則尤拉函式公式為

φ(n) = n(1-1/p1)(1-1/p2)...(1-1/pn)

3. 尤拉函式性質

（1）尤拉函式為積性函式。（對於數論函式 f(n) 不恆等於0，當 (m,n) = 1 時，滿足 f(mn) = f(m)f(n) ，則稱 f(n) 為積性函式）

φ(mn) = φ(m)φ(n)，(m,n) = 1

（2）若 (m,n) = d，則

φ(mn) = dφ(m)φ(n)/φ(d)

（3）若m、n滿足m|n，則

φ(mn) = mφ(n)

（4）若m、n滿足m|n，則

φ(m)|φ(n)

（5）對於質數p，其尤拉函式公式為

φ(p) = p-1

（6）對於質數p，pk的尤拉函式公式為

φ(pk) = (p-1)pk-1

（7）小於等於n且整除n的所有正整數的尤拉函式值之和等於n，即

n = σd|nφ(d)

（8）尤拉定理：若(a,m) = 1，則 aφ(m) ≡ 1 (mod m)。

（9）擴充套件尤拉定理

ax ≡ ax

mod φ(m) (mod m)，(a,m) = 1

或 ax ≡ ax

(mod m)，(a,m) ≠ 1且x < φ(m)

或 ax ≡ ax

mod φ(m) + φ(m) (mod m)，(a,m) ≠ 1且x ≥ φ(m)

尤拉函式定理及其性質

尤拉函式就是指 給定乙個n，求得1到n中與n互質的數的個數 再介紹尤拉通項前，首先得介紹唯一分解定理 那麼求乙個數的尤拉值的公式為 n n 1 1 p1 1 1 p2 1 1 pn 其中的p1到pn為n分解出來的質因子 那麼求乙個數的尤拉值的時間複雜度為o sqrt n 實現 int euler i...

尤拉函式性質與求法 數論 尤拉函式

n的尤拉函式值用符號 n 表示 尤拉函式的定義是，對於乙個正整數n，小於n且與n互質的數的數目 包括1，特殊地，1 1 設p1,p2,p3,pr為n的全部r個質因數，則有 n n 1 1 p1 1 1 p2 1 1 p3 1 1 p4 1 1 pr 顯然，用這個方法來計算單個尤拉函式是可以求解的。附...

尤拉函式及其證明

請思考以下問題 任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關係？計算這個值的方法就叫做尤拉函式，以 n 表示。在1到8之中，與8形成互質關係的是1 3 5 7，所以 n 4。n 的計算方法並不複雜，但是為了得到最後那個公式，需...