尤拉函式及其證明

請思考以下問題：

任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？（比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關係？）

φ(n) 的計算方法並不複雜，但是為了得到最後那個公式，需要一步步討論。

第一種情況

如果n=1，則 φ(1) = 1 。因為1與任何數（包括自身）都構成互質關係。

第二種情況

如果n是質數，則 φ(n)=n-1 。因為質數與小於它的每乙個數，都構成互質關係。比如5與1、2、3、4都構成互質關係。

第三種情況

如果n是質數的某乙個次方，即 n = p^k (p為質數，k為大於等於1的整數)，則

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

這是因為只有當乙個數不包含質數p，才可能與n互質。而包含質數p的數一共有p^(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它們去除，剩下的就是與n互質的數。

上面的式子還可以寫成下面的形式：

可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時的特例。

第四種情況

如果n可以分解成兩個互質的整數之積，

n = p1 × p2

φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

這一條的證明要用到「中國剩餘定理」，這裡就不展開了，只簡單說一下思路：如果a與p1互質(a第五種情況

因為任意乙個大於1的正整數，都可以寫成一系列質數的積。

根據第4條的結論，得到

再根據第3條的結論，得到

也就等於

這就是尤拉函式的通用計算公式。比如，1323的尤拉函式，計算過程如下：

尤拉函式及其證明

請思考以下問題 任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關係？計算這個值的方法就叫做尤拉函式，以 n 表示。在1到8之中，與8形成互質關係的是1 3 5 7，所以 n 4。n 的計算方法並不複雜，但是為了得到最後那個公式，需...

尤拉函式及其證明

請思考以下問題 任意給定正整數n，請問在小於等於n的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？比如，在1到8之中，有多少個數與8構成互質關係？計算這個值的方法就叫做尤拉函式，以 n 表示。在1到8之中，與8形成互質關係的是1 3 5 7，所以 n 4。n 的計算方法並不複雜，但是為了得到最後那個公式，需...

尤拉定理及其證明

背景 首先你要知道什麼是尤拉定理以及尤拉函式。下面給出尤拉定理，對於互質的a,p來說，有如下一條定理 a equiv1 mod p 這就是尤拉定理 定義 對於集合 0 a,我們將它稱之為乙個模m的同餘類記為 overline 那麼很顯然的，這樣的同餘類有m個，他們構成m的完全剩餘系。對於m來說，與m...