最長公共子串行（lcs）最常見的演算法是時間複雜度為o(n^2)的動態規劃(dp)演算法，但在james w. hunt和thomas g. szymansky 的**"a fast algorithm for computing longest common subsequence"中，給出了o(nlogn)下限的一種演算法。
定理：設序列a長度為n，，序列b長度為m，，考慮a中所有元素在b中的序號，即a某元素在b的序號為，將這些序號按照降序排列，然後按照a中的順序得到乙個新序列，此新序列的最長嚴格遞增子串行即對應為a、b的最長公共子串行。
舉例來說，a=，b=，則a對應在b的序號為2，b對應序號為，c對應序號為1，d對應為空集，生成的新序列為，其最長嚴格遞增子串行為，對應的公共子串行為
原**的證明過程較複雜，其實可以簡單的通過一一對應來證明。即證明a、b的乙個公共子串行和新序列的乙個嚴格遞增子串行一一對應。
(1) a、b的乙個公共子串行對應新序列的乙個嚴格遞增子串行
假設a、b的某乙個公共子串行長度為k，則其公共子串行在a和b中可以寫為
如此有ai1 = aj1,ai2 = aj2, ...., aik = ajk, 考慮元素bj1在b中的序號p(bj1)，則有
p(bj1)< p(bj2) < ... < p(bjk)
注意此嚴格遞增子串行屬於新序列的乙個子串行，因此得證
(2) 新序列的乙個嚴格遞增子串行對應a、b的乙個公共子串行
設新序列的乙個嚴格遞增子串行，任意兩個相同的p不可能屬於a中同乙個元素，因為a中某元素在b中的序號按照降序排列，但此序列為嚴格遞增序列，矛盾。所以每個p均對應於a中不同位置的元素，設為。
因為p是嚴格遞增序列，則每個p也對應b中唯一的乙個元素，假設為，由p的定義可知ai1= bj1, ai2 = bj2, ...., aik = bjk，因此得證。
實現上比較複雜，有以下幾個步驟：
(1) 對序列b排序
(2) 計算a中每個元素在b中的序號，並構成新序列
(3) 使用lis的方法計算最長嚴格遞增子串行
(4) 獲取最長公共子串行
效能分析：
(1) 排序複雜度為nlogn
(2) 獲取乙個元素在b中的序號的複雜度，最小為logn，最大為n，獲取所有元素的複雜度為 nlogn === n*n
(3) lis 複雜度為nlogn
因此總體複雜度在nlogn 到 n*n logn之間，但如果(2)
步驟中a中元素在b中的序號對數很少時，效能相當優越，在實際測試時，string
中均為小寫字母，長度為10000的情況下，這種方法比普通的lcs快一倍以上；如果string
中的字元擴充套件成char，即0-255，則這種方法比普通的lcs快至少乙個數量級。
#include#include#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define eps 1e-9
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define ins(x) inserter(x,x.begin())
#define for(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define maxn 1005
#define maxm 40005
#define inf 0x3fffffff
using
namespace
std;
typedef
long
long
ll;struct
node
u[10005
];int
i,j,k,n,m,x,y,t,ans,big,cas,num,len;
bool
flag;
bool
cmp(node a,node b)
vector
p;char a[10005],b[10005],c[10005
];int lena,lenb,dp[10005
];int
main()
sort(u,u+lenb,cmp);//
對b串排序
for (i=0;i//
排序後存入字串c中，便於使用lower_bound
c[lenb]='\0'
;
for (i=0;i//
計算a中每個元素在b中的序號
}n=p.size();
memset(dp,
0,sizeof(dp));//
計算最長上公升子串行
num=0
;
for (i=0;i)
else
}printf(
"%d\n
",num);
return0;
}
P3402 最長公共子串行（nlogn）
先看一下資料規模 n 300000,n 2的做法肯定就要掛掉了，所以用到了這個nlogn的做法。先介紹一下nlogn的做法 最長公共子串行 的 nlogn 的演算法本質是 將該問題轉化成 最長增序列 lis 因為 lis 可以用nlogn實現，所以求lcs的時間複雜度降低為 nlogn。轉化 將lc...
演算法 最長公共子串行
好久沒做演算法題了，現在發現自己的演算法能力非常薄弱，所以特意練練，順便做個筆記方便以後檢視。今天整理一下最長公共子串行，最長公共子串行的問題常用於解決字串的相似度，是乙個非常實用的演算法，作為碼農，此演算法是我們的必備基本功。最長公共子串行，是指兩個字串可具有的長度最大的公共的子串行。聽著好像有點...
演算法 最長公共子串行
題目 給定兩個字串 text1 和 text2，返回這兩個字串的最長公共子串行的長度。乙個字串的 子串行 是指這樣乙個新的字串 它是由原字串在不改變字元的相對順序的情況下刪除某些字元 也可以不刪除任何字元 後組成的新字串。例如，ace 是 abcde 的子串行，但 aec 不是 abcde 的子串行...