一、必勝點和必敗點的概念
p點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。
n點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。
必勝點和必敗點的性質：
1、所有終結點是 必敗點 p 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設）
2、從任何必勝點n 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 p。
3、無論如何操作，必敗點p 都只能進入 必勝點 n。
我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化，有助於我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以hdu 1847 good luck in cet-4 everybody!為例：
當 n = 0 時，顯然為必敗點，因為此時你已經無法進行操作了
當 n = 1 時，因為你一次就可以拿完所有牌，故此時為必勝點
當 n = 2 時，也是一次就可以拿完，故此時為必勝點
當 n = 3 時，要麼就是剩一張要麼剩兩張，無論怎麼取對方都將面對必勝點，故這一點為必敗點。
以此類推，最後你就可以得到；
n ： 0 1 2 3 4 5 6 ...
position： p n n p n n p ...
你發現了什麼沒有，對，他們就是成有規律，使用了 p/n來分析，有沒有覺得問題變簡單了。
二、sprague-grundy定理（sg定理）
遊戲和的sg函式等於各個遊戲sg函式的nim和。這樣就可以將每乙個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而bouton定理就是sprague-grundy定理在nim遊戲中的直接應用，因為單堆的nim遊戲 sg函式滿足 sg(x) = x。
（nim遊戲：
三、sprague-grundy函式（sg函式）
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。
對於任意狀態 x ， 定義 sg(x) = mex(s),其中 s 是 x 後繼狀態的sg函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 sg(a),sg(b),sg(c)，那麼sg(x) = mex。 這樣 集合s 的終態必然是空集，所以sg函式的終態為 sg(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點p時。
四、例題
五、參考文章
SG函式和SG定理
大神鏈 我們先用乙個簡單的例子引入 考慮有這樣乙個遊戲，有3堆火柴，分別有a，b，c根，記為 a，b，c 每次乙個遊戲者可以從任意一堆中拿走至少一根火柴，也可以整堆拿走，但是不能從多堆火柴中拿 無法拿火柴的人輸 這個遊戲就叫做nim遊戲 舉個例子，假設a 1，b 2，c 3，若你先拿，你會怎麼辦呢？...
sg函式和sg定理
下面這篇解釋得很清楚。單個遊戲 sg 0 0 sg值為0的有且只有必敗態 sg x mex sg y x的所有後繼狀態中 第乙個不能達到的sg值，則x可到達sg為0 sg x 1的狀態 組合遊戲 可將sg值看作為石子數，則轉化為nim取石子遊戲，總遊戲的勝負由sg的異或和決定。hdu1848 1 i...
博弈 SG函式和SG定理
在介紹sg函式和sg定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.必勝點和必敗點的概念 p點 必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理，換句話說，...